Kỹ thuật tiếp tuyến: chứng minh bất đẳng thức n biến

Phương pháp bất đẳng thức Jensen qua tiếp tuyến: lối tư duy cho bài toán điểm 10

Phần 1. Câu cuối của đề, và chỗ học sinh đứng hình

Bất đẳng thức nhiều biến có ràng buộc — dạng "cho $a+b+c=3$ , chứng minh $P \ge k$ " — thường là câu lấy điểm 9–10. Vũ khí quen thuộc là Cauchy (AM–GM) và Bunhiacopxki. Cả hai rất mạnh, nhưng dùng được hay không phụ thuộc vào việc nhìn ra cách ghép nhóm, và đó là thứ không có quy trình.

Hệ quả: học sinh giỏi vẫn có thể ngồi mười lăm phút không tìm ra hướng, trong khi bài chỉ cần một ý.

Kỹ thuật tiếp tuyến (Tangent Line Trick) — dạng sơ cấp của bất đẳng thức Jensen — cho một quy trình gần như máy móc cho lớp bài tổng các hàm cùng dạng kèm ràng buộc tổng. Nó không thay thế Cauchy, nhưng ở đúng lớp bài ấy thì nó là con đường ngắn nhất và ít phụ thuộc cảm hứng nhất.

Phần 2. Bản chất: hàm lồi luôn nằm trên tiếp tuyến của nó

Đồ thị hàm lồi nằm phía trên tiếp tuyến tại điểm a

Với hàm $f$ lồi trên một khoảng (tức $f'' \ge 0$ ), đồ thị luôn nằm không thấp hơn tiếp tuyến tại mọi điểm:

f(x) \ge f(a) + f'(a)(x-a) \qquad \forall x

Đây là toàn bộ nội dung kỹ thuật. Sức mạnh nằm ở chỗ vế phải là một hàm bậc nhất theo $x$ — và tổng của các hàm bậc nhất thì tính được ngay bằng ràng buộc tổng.

Quy trình bốn bước

Bước 1 — Nhận dạng. Biểu thức phải có dạng $P = f(a) + f(b) + f(c) + \dots$ với cùng một hàm $f$ , kèm ràng buộc dạng $a+b+c = S$ .

Bước 2 — Đoán điểm đẳng thức. Với ràng buộc đối xứng, dấu bằng gần như luôn xảy ra tại $a=b=c=S/n$ . Gọi giá trị đó là $x_0$ .

Bước 3 — Viết tiếp tuyến tại $x_0$ và chứng minh bất đẳng thức một biến

f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

trên đúng miền mà đề cho. Đây là bước phải chứng minh, không được coi là hiển nhiên.

Bước 4 — Cộng $n$ bất đẳng thức. Tổng vế phải rút gọn nhờ ràng buộc, cho ra ngay kết quả.

Ba lưu ý quyết định đúng sai

Phải kiểm tính lồi TRÊN MIỀN ĐỀ CHO. Hàm $f(x) = x^3$ lồi trên $(0;+\infty)$ nhưng lõm trên $(-\infty;0)$ . Nếu đề chỉ cho $a,b,c>0$ thì dùng được; cho $a,b,c\in\mathbb{R}$ thì không.
Khi $f$ không lồi trên toàn miền, bất đẳng thức tiếp tuyến vẫn có thể đúng — nhưng lúc đó phải chứng minh trực tiếp bằng cách xét hiệu và phân tích thành nhân tử chứa $(x-x_0)^2$ .
Đoán sai điểm đẳng thức thì cả bài hỏng. Với ràng buộc không đối xứng, điểm đẳng thức không nằm ở giữa, và tiếp tuyến vẽ sai chỗ sẽ cho bất đẳng thức sai chiều.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Cho $a, b, c > 0$ và $a + b + c = 3$ . Chứng minh rằng
$P = \frac{a}{a^2+1} + \frac{b}{b^2+1} + \frac{c}{c^2+1} \le \frac{3}{2}$

Cách 1 — Thử ghép Cauchy

Phản xạ đầu tiên: $a^2 + 1 \ge 2a$ (AM–GM), nên $\dfrac{a}{a^2+1} \le \dfrac{a}{2a} = \dfrac{1}{2}$ .

Cộng ba bất đẳng thức: $P \le \dfrac{3}{2}$ . Xong!

Điểm yếu. Lần này Cauchy ăn may — bất đẳng thức trung gian $a^2+1\ge 2a$ tình cờ cho đúng hằng số cần. Nhưng hãy để ý: lời giải này chưa dùng tới ràng buộc $a+b+c=3$ . Điều đó nghĩa là nó chứng minh một mệnh đề mạnh hơn (đúng với mọi $a,b,c>0$ ), và đó là dấu hiệu bài toán còn dễ hơn đề. Đổi đề một chút — ví dụ $P = \sum \dfrac{a}{a^2+2}$ và hỏi cận trên — thì mẹo ghép này không còn ra hằng số đẹp, và học sinh lại phải mò từ đầu.

Cách 2 — Kỹ thuật tiếp tuyến

Bước 1–2. $P = f(a)+f(b)+f(c)$ với $f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}$ . Ràng buộc đối xứng, đoán đẳng thức tại $a=b=c=1$ , tức $x_0 = 1$ .

Bước 3. Tính:

f(1) = \frac{1}{2}, \qquad f'(x) = \frac{(x^2+1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}, \qquad f'(1) = 0

Tiếp tuyến tại $x_0=1$ là đường nằm ngang $y = \dfrac{1}{2}$ . Cần chứng minh, với mọi $x>0$ :

\frac{x}{x^2+1} \le \frac{1}{2}

Xét hiệu:

\frac{1}{2} - \frac{x}{x^2+1} = \frac{x^2+1-2x}{2(x^2+1)} = \frac{(x-1)^2}{2(x^2+1)} \ge 0 \quad \checkmark

Dấu bằng khi $x=1$ .

Bước 4. Cộng ba bất đẳng thức cho $a$ , $b$ , $c$ :

P \le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Đẳng thức khi $a=b=c=1$ , thoả ràng buộc $a+b+c=3$ ✓

	Ghép Cauchy	Kỹ thuật tiếp tuyến
Cách tìm ra hướng	phụ thuộc kinh nghiệm, có lúc bế tắc	quy trình cố định 4 bước
Dùng ràng buộc	có thể không dùng tới — dấu hiệu chưa chặt	dùng ở bước cộng cuối
Khi đổi hàm $f$	phải tìm mẹo mới	quy trình không đổi
Chỗ phải cẩn thận	chọn nhóm	chứng minh bất đẳng thức một biến

⭐ Điểm mấu chốt dễ bị bỏ qua: bước 3 là một bất đẳng thức một biến, và mọi bất đẳng thức một biến đều xử lý được bằng cách xét hiệu rồi phân tích thành nhân tử. Nhân tử $(x-x_0)^2$ xuất hiện là dấu hiệu làm đúng — nó phản ánh việc tiếp tuyến chạm đồ thị tại đúng $x_0$ .

Khi tiếp tuyến không nằm ngang

Ví dụ trên có $f'(1)=0$ nên tiếp tuyến nằm ngang, làm bước 4 rất gọn. Trường hợp tổng quát, tiếp tuyến là $y = mx + n$ và bước 4 cho:

P \ge m(a+b+c) + 3n = mS + 3n

Ràng buộc tổng được dùng đúng ở đây — đó là lý do kỹ thuật này đòi ràng buộc dạng tổng, không phải dạng tích.

Phần 4. Góc giáo viên

Kỹ thuật tiếp tuyến là ví dụ đẹp của năng lực tư duy và lập luận toán học: một ý tưởng hình học (đồ thị nằm trên tiếp tuyến) giải quyết một bài đại số nhiều biến.

Dạy hình trước công thức. Cho học sinh vẽ một parabol và một tiếp tuyến, tự quan sát rằng đồ thị luôn ở trên. Bất đẳng thức Jensen sau đó chỉ là cách viết lại điều đã thấy.
Nhấn mạnh bước kiểm tính lồi. Cho một phản ví dụ với hàm lõm để học sinh thấy bất đẳng thức đảo chiều.
Dùng bài "đoán điểm đẳng thức" làm bài tập riêng. Với ràng buộc $a+2b=6$ , điểm đẳng thức không phải $a=b$ — đây là kỹ năng tách được và luyện nhanh.

Bẫy cần nhắc. Thứ nhất, áp dụng cho hàm không lồi trên miền đề cho. Thứ hai, bỏ qua bước chứng minh bất đẳng thức một biến và coi nó hiển nhiên — khi chấm, đó là chỗ mất điểm. Thứ ba, ràng buộc dạng tích ( $abc=1$ ) thì phải đổi biến sang lôgarit trước, vì bước cộng cuối cần một tổng.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $a,b,c>0$ , $a+b+c=3$ . Chứng minh $\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1} \ge \dfrac{3}{2}$ .

Gợi ý: $f(x)=\dfrac{1}{x^2+1}$ , $x_0=1$ , $f(1)=\dfrac12$ , $f'(1)=-\dfrac12$ . Tiếp tuyến: $y = -\dfrac{x}{2}+1$ . Chứng minh $\dfrac{1}{x^2+1} \ge 1-\dfrac{x}{2}$ với $0<x<3$ bằng cách xét hiệu. Đáp án: cộng ba bất đẳng thức được $P \ge 3 - \dfrac{a+b+c}{2} = 3 - \dfrac32 = \dfrac32$ .

Bài 2. Cho $a,b>0$ , $a+b=2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $a^3+b^3$ .

Gợi ý: $f(x)=x^3$ lồi trên $(0;+\infty)$ , điểm đẳng thức $x_0=1$ . Tiếp tuyến: $y=3x-2$ . Đáp án: $a^3+b^3 \ge 3(a+b)-4 = 2$ , đạt tại $a=b=1$ .

Bất đẳng thức là mảng mà một bước thiếu chứng minh làm mất điểm dù đáp số đúng. Thầy cô có thể dựng bộ đề luyện đúng dạng này trên Grade, kết hợp câu trắc nghiệm kiểm tra điều kiện lồi và câu tự luận chứng minh: hệ thống chấm phần trắc nghiệm ngay khi nộp và trả lời giải chi tiết, phần tự luận thầy cô chấm với ảnh bài làm học sinh nộp kèm. Dùng thử miễn phí tại đây.

Bắt đầu học cùng Grade

Luyện tập, kiểm tra trình độ và theo dõi tiến độ học tập đa môn — trên web và điện thoại.

Đăng ký miễn phí

Phương pháp bất đẳng thức Jensen qua tiếp tuyến: lối tư duy cho bài toán điểm 10