Không gian pha (Phase Space): dao động điều hoà nhìn từ một đường elip

Phần 1. Một hệ thức mà ai cũng thuộc và không ai nhớ nó từ đâu ra

Chương dao động có một công thức được dùng nhiều hơn mọi công thức khác:

Sách gọi nó là hệ thức độc lập với thời gian. Học sinh thuộc, thay số, ra đáp án. Nhưng hỏi "vì sao nó đúng" thì gần như không em nào trả lời được ngoài "khử $t$ từ hai phương trình".

Hệ quả của việc học thuộc mà không hiểu: ba biến thể của cùng một hệ thức bị nhớ lẫn vào nhau —

và trong phòng thi thì $\omega$ bị đặt nhầm chỗ, hoặc căn bị lấy cho cả $\omega$.

Vật lí đại học — và chương trình AP Physics C — nhìn công thức ấy theo cách khác: nó là phương trình một đường elip, và cả chương dao động là câu chuyện về đường elip đó.

Phần 2. Bản chất: vẽ trạng thái thay vì vẽ chuyển động

Đồ thị quen thuộc là $x$ theo $t$ — một hình sin. Không gian pha bỏ trục thời gian đi và vẽ trạng thái: trục hoành là li độ $x$, trục tung là vận tốc $v$.

Một vật dao động điều hoà có

Chia mỗi phương trình cho biên độ của nó rồi dùng $\sin^2 + \cos^2 = 1$:

Đó là phương trình elip bán trục $A$ và $\omega A$. Nhân hai vế với $A^2$ thì ra đúng hệ thức trong sách — nên hệ thức ấy không phải một mẹo khử $t$, nó là phương trình đường đi trong không gian pha.

Đọc được gì từ hình

Vị trí trên elip	Ý nghĩa vật lí
Giao với trục hoành ($v = 0$)	vật ở biên, $x = \pm A$
Giao với trục tung ($x = 0$)	vật ở vị trí cân bằng, $|v| = \omega A$ lớn nhất
Đi hết một vòng	đúng một chu kỳ
Vòng khép kín	dao động không tắt
Đường xoắn vào tâm	dao động tắt dần
Bán trục ngang	biên độ $A$
Tỉ số hai bán trục	tần số góc $\omega$

Bảy dòng ấy phủ gần hết các câu hỏi lý thuyết của chương.

Ba lưu ý

• Chiều chạy trên elip là chiều KIM ĐỒNG HỒ. Ở nửa trên ($v > 0$) thì $x$ tăng, nên điểm đi sang phải; ở nửa dưới thì đi sang trái. Đây là lý do hình vẽ nên có mũi tên.
• Hình dạng elip phụ thuộc $\omega$, không phụ thuộc pha ban đầu. Đổi $\varphi$ chỉ đổi điểm xuất phát trên elip, không đổi elip. Điều này giải thích vì sao hệ thức độc lập thời gian không chứa $\varphi$.
• Với dao động tắt dần thì đường KHÔNG khép kín — nó xoắn dần vào gốc toạ độ. Gốc toạ độ ($x = 0$, $v = 0$) là trạng thái vật đứng yên ở vị trí cân bằng.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Một vật dao động điều hoà với biên độ $A = 5$ cm và tần số góc $\omega = 10$ rad/s. Khi vật có li độ $x = 3$ cm thì tốc độ của nó là A. $50$ cm/s B. $40$ cm/s C. $30$ cm/s D. $80$ cm/s

Cách 1 — Lập hai phương trình rồi khử $t$

Từ $x = 5\cos(10t + \varphi) = 3$ suy ra $\cos(10t+\varphi) = 0{,}6$, rồi $\sin(10t+\varphi) = \pm 0{,}8$, rồi $v = -10 \times 5 \times (\pm 0{,}8) = \mp 40$ cm/s.

Điểm yếu. Đúng, nhưng đi qua ba bước lượng giác và một dấu $\pm$ phải xử lý. Trong đó bước dễ sai nhất là nhớ rằng $v_{\max} = \omega A$ chứ không phải $A$ — và đó chính là lỗi mà phương án A đón: nhiều em lấy thẳng $\omega A = 50$ cm/s vì đọc "tốc độ" mà không để ý đang ở li độ $x = 3$.

Cách 2 — Đọc elip

Elip có bán trục ngang $A = 5$ cm và bán trục đứng $\omega A = 50$ cm/s. Điểm trên elip ứng với $x = 3$:

Đáp án B.

Nhận ra ngay: $3$ và $5$ là hai cạnh của tam giác $3$–$4$–$5$, nên tỉ số còn lại là $\dfrac{4}{5}$. Không cần bấm máy.

Ba phương án còn lại: A ($50$ cm/s) là $\omega A$, tức tốc độ ở vị trí cân bằng; C ($30$ cm/s) là $\omega x$, tức thay nhầm $x$ vào chỗ của $A$; D ($80$ cm/s) quên chia cho $A$ trong bước lấy tỉ số.

	Khử $t$ bằng lượng giác	Đọc elip
Số bước	3 và một dấu $\pm$	1
Nhớ $v_{\max} = \omega A$	phải tự nhắc	là bán trục đứng, hiện trên hình
Bài hỏi gia tốc	thêm một công thức nữa	elip thứ hai, cùng cách đọc
Bài hỏi "tại li độ nào thì $W_đ = W_t$"	giải phương trình	điểm ở $45^\circ$ trên elip
Tự kiểm	không có mốc	hai số hạng phải cộng lại bằng 1

⭐ Phép kiểm một dòng cho mọi bài dao động: hai số hạng $\left(\dfrac{x}{A}\right)^2$ và $\left(\dfrac{v}{\omega A}\right)^2$ phải cộng lại đúng bằng $1$. Nếu ra lớn hơn 1 thì có một con số thay sai chỗ. Năm giây, và bắt được toàn bộ lỗi kiểu "nhầm $\omega$ với $\omega A$".

Bài "động năng bằng thế năng" nhìn từ elip

Cơ năng $W = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$. Thế năng $W_t = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$, động năng $W_đ = \frac{1}{2}mv^2$.

$W_đ = W_t$ có nghĩa là hai số hạng trong phương trình elip bằng nhau, mỗi cái bằng $\frac{1}{2}$:

Trên hình, đó là bốn điểm nằm ở góc $45^\circ$ — vị trí đối xứng nhất của elip. Kết quả quen thuộc $x = \pm A/\sqrt2$ trở thành một quan sát hình học chứ không phải một con số phải thuộc.

Tương tự, $W_đ = 3W_t$ cho $\left(\frac{x}{A}\right)^2 = \frac14$, tức $x = \pm A/2$.

Phần 4. Góc giáo viên

Không gian pha phục vụ năng lực nhận thức vật lí: học sinh mô tả được trạng thái của hệ bằng một điểm, và mô tả được tiến trình bằng một đường — đúng ngôn ngữ mà vật lí hiện đại dùng.

• Vẽ elip ngay khi dạy hệ thức độc lập thời gian. Chi phí là năm phút, và đổi lại học sinh không còn nhớ lẫn ba biến thể của cùng một công thức.
• Dùng elip để dạy dao động tắt dần. Hình xoắn vào tâm nói được điều mà đồ thị $x$–$t$ hình sin tắt dần nói không rõ bằng: hệ mất năng lượng và tiến về một trạng thái duy nhất.
• Ra bài tập chỉ hỏi "điểm này trên elip ứng với vật đang ở đâu" — không tính gì cả. Nhanh, và lộ ngay em nào chưa phân biệt được trục hoành với trục tung.

Bẫy đề thi. Thứ nhất, phương án $\omega A$ (tốc độ cực đại) luôn có mặt khi đề hỏi tốc độ ở một li độ cụ thể. Thứ hai, đề cho đơn vị lẫn lộn cm và m — elip chỉ đúng khi hai trục cùng hệ đơn vị. Thứ ba, đề hỏi "sau bao lâu" thì không gian pha không trả lời trực tiếp được: nó bỏ trục thời gian đi, nên các câu về thời gian phải quay lại đường tròn lượng giác.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Vật dao động điều hoà có $A = 10$ cm, $\omega = 4$ rad/s. Tại thời điểm tốc độ bằng $24$ cm/s thì li độ bằng bao nhiêu?

Gợi ý: bán trục đứng là $\omega A = 40$ cm/s, nên $\left(\frac{24}{40}\right)^2 = 0{,}36$. Đáp án: $\left(\frac{x}{10}\right)^2 = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 \Rightarrow |x| = 8$ cm. (Lại là tam giác $6$–$8$–$10$.)

Bài 2. Một vật dao động điều hoà. Tại li độ nào thì động năng gấp $4$ lần thế năng?

Gợi ý: thế năng chiếm $\frac{1}{5}$ cơ năng, tức $\left(\frac{x}{A}\right)^2 = \frac15$. Đáp án: $x = \pm\dfrac{A}{\sqrt5} = \pm\dfrac{A\sqrt5}{5} \approx \pm 0{,}447A$.

---

Dao động là chương mà thay nhầm $\omega$ vào chỗ của $\omega A$ vẫn cho ra con số nằm gọn trong bốn phương án. Thầy cô có thể dựng bộ đề luyện đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu, và xem tỷ lệ chọn phương án bằng $\omega A$ — con số ấy đo đúng số em đang đọc "tốc độ" mà bỏ qua li độ đề cho. Dùng thử miễn phí tại đây.

---