Trực quan hoá số phức bằng mặt phẳng Argand: giải nhanh bài toán cực trị môđun

Phần 1. Đặt $z = x + yi$ rồi sa vào đại số

Dạng bài quen thuộc: "Cho số phức $z$ thoả $|z - 1 - 2i| = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của $|z|$." Cách làm phổ biến là đặt $z = x+yi$, biến điều kiện thành

rồi tìm max của $\sqrt{x^2+y^2}$ với ràng buộc ấy — thường bằng cách đặt tham số lượng giác hoặc dùng bất đẳng thức. Cách này đúng nhưng dài, và là nơi học sinh hay lạc giữa hai biến.

Điều bị bỏ lỡ: điều kiện đề bài đã là một phát biểu hình học rồi. Chương trình A-Level và IB dạy số phức song song với mặt phẳng Argand ngay từ đầu, nên học sinh quen đọc $|z-w|$ là khoảng cách, không phải một biểu thức cần khai triển.

Phần 2. Bản chất: môđun là khoảng cách

Số phức $z = x+yi$ ứng với điểm $M(x;y)$. Khi đó:

Từ một câu ấy, bảng dịch sau đây giải quyết gần như toàn bộ dạng bài:

Điều kiện đại số	Hình học tương ứng
$\lvert z - w \rvert = R$	đường tròn tâm $w$, bán kính $R$
$\lvert z - w \rvert \le R$	hình tròn (kể cả biên)
$\lvert z - w_1 \rvert = \lvert z - w_2 \rvert$	đường trung trực của đoạn $w_1w_2$
$\lvert z - w_1 \rvert + \lvert z - w_2 \rvert = 2a$	elip tiêu điểm $w_1$, $w_2$
$z + \bar{z} = 2a$	đường thẳng $x = a$
$\lvert z \rvert$ lớn nhất / nhỏ nhất	điểm xa / gần gốc $O$ nhất trên hình đó

Quy trình ba bước

Bước 1 — Dịch điều kiện sang hình. Nhận ra tập hợp điểm biểu diễn $z$ là đường tròn, đường thẳng hay elip.

Bước 2 — Dịch câu hỏi sang khoảng cách. "Tìm max $|z|$" là "tìm điểm xa gốc nhất"; "tìm min $|z - 3i|$" là "tìm điểm gần điểm $3i$ nhất".

Bước 3 — Dùng hình học sơ cấp. Với đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ và một điểm $A$ cố định:

Cực trị đạt tại giao điểm của đường thẳng $AI$ với đường tròn — không cần đạo hàm, không cần tham số hoá.

Ba lưu ý

• Công thức $|AI - R|$ có dấu giá trị tuyệt đối. Khi $A$ nằm trong đường tròn thì $AI < R$ và khoảng cách nhỏ nhất vẫn dương.
• $|z - w|$ chứ không phải $|z + w|$. Với $|z + 1 - 2i| = 3$, tâm là $-1 + 2i$, không phải $1 - 2i$. Viết lại thành $|z - (-1+2i)|$ trước khi đọc tâm.
• Kiểm xem điểm cực trị có thuộc miền đề cho không. Nếu đề thêm điều kiện phần thực dương chẳng hạn, điểm tìm được có thể bị loại.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Cho số phức $z$ thoả mãn $|z - 1 - 2i| = 2$. Giá trị lớn nhất của $|z|$ là A. $\sqrt{5} + 2$ B. $\sqrt{5} - 2$ C. $2$ D. $\sqrt{5}$

Cách 1 — Đặt $z = x + yi$

Điều kiện: $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 4$. Đặt tham số:

Tìm max của $4\cos t + 8\sin t$: biên độ là $\sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt5$.

Đến đây học sinh phải nhận ra $9 + 4\sqrt5 = 5 + 4\sqrt5 + 4 = (\sqrt5+2)^2$, tức $|z|_{\max} = \sqrt5 + 2$. Đáp án A.

Điểm yếu. Bốn bước biến đổi, một phép tham số hoá, một phép tìm biên độ, và một bước nhận dạng hằng đẳng thức ở cuối. Bước cuối là chỗ nhiều em dừng lại với $\sqrt{9+4\sqrt5}$ và không thấy nó nằm trong phương án nào.

Cách 2 — Đọc trên mặt phẳng Argand

Bước 1. $|z - (1+2i)| = 2$ → điểm $M$ biểu diễn $z$ nằm trên đường tròn tâm $I(1;2)$, bán kính $R=2$.

Bước 2. $|z| = OM$ → tìm điểm trên đường tròn xa gốc $O$ nhất.

Bước 3.

Đáp án A. Ba dòng, và mỗi dòng đều đọc được từ hình.

	Đặt $z=x+yi$	Mặt phẳng Argand
Số bước biến đổi	5–6	3
Kỹ thuật cần	tham số hoá, biên độ, hằng đẳng thức	định lý Pythagore
Rủi ro	kẹt ở bước rút gọn căn cuối	đọc nhầm tâm khi đề viết $z + w$
Khi đổi sang "min $\lvert z-3i\rvert$"	phải làm lại từ đầu	đổi điểm $A$, công thức giữ nguyên

⭐ Nhận diện nhiễu. B ($\sqrt5-2$) là giá trị nhỏ nhất của $|z|$ — đề hỏi max mà chọn min. C ($2$) là bán kính. D ($\sqrt5$) là $OI$, tức khoảng cách tới tâm chứ không tới điểm xa nhất. Ba nhiễu ứng với ba chỗ dừng sớm.

Phần 4. Góc giáo viên

Số phức là chương mà năng lực sử dụng công cụ và phương tiện toán học thể hiện rất rõ: cùng một đối tượng được nhìn vừa như một số, vừa như một điểm, vừa như một vectơ.

• Vẽ mặt phẳng Argand ngay từ tiết định nghĩa số phức, đừng để đến chương cực trị mới giới thiệu.
• Cho bài tập chỉ yêu cầu MÔ TẢ tập hợp điểm, không tính gì: "$|z-i| = |z+1|$ là hình gì?" Nhanh, và luyện đúng bước dịch.
• Dùng phần mềm hình học động cho học sinh kéo điểm trên đường tròn và quan sát $|z|$ thay đổi. Cực trị trở thành điều nhìn thấy.

Bẫy đề thi. Thứ nhất, đề viết $|z + 1 - 2i|$ và học sinh đọc tâm là $(1;-2)$. Thứ hai, hỏi min khi điểm $A$ nằm trong đường tròn — khi đó $\min = R - OA$, không phải $OA - R$. Thứ ba, tập hợp điểm là đường thẳng (trung trực) chứ không phải đường tròn, khi ấy cực trị là khoảng cách từ điểm tới đường thẳng — và bài toán có min nhưng không có max.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $|z - 3 + 4i| = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z|$.

Gợi ý: tâm $I(3;-4)$, $R=1$, $OI = \sqrt{9+16}=5$. Gốc nằm ngoài đường tròn. Đáp án: $\min|z| = OI - R = 4$.

Bài 2. Cho $|z - 2| = |z + 1 - 3i|$. Mô tả tập hợp điểm biểu diễn $z$ và tìm $|z|$ nhỏ nhất.

Gợi ý: tập hợp là đường trung trực của đoạn nối $A(2;0)$ và $B(-1;3)$. Viết phương trình đường thẳng rồi tính khoảng cách từ $O$ tới nó. Đáp án: trung trực có phương trình $x - y + 1 = 0$ (kiểm: trung điểm $(0{,}5;\,1{,}5)$ thoả); $\min|z| = \dfrac{|0-0+1|}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$.

---

Dạng cực trị môđun chỉ thành phản xạ khi học sinh gặp đủ các hình — đường tròn, đường thẳng, elip — và biết dừng đúng bước. Thầy cô có thể dựng bộ đề đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu, và xem phương án nhiễu nào bị chọn nhiều — chọn "bán kính" hay "khoảng cách tới tâm" là hai dấu hiệu rất rõ về chỗ lớp đang dừng sớm. Dùng thử miễn phí tại đây.

---