Mô hình hoá bài toán tối ưu hoá bằng đồ thị thực tế (Optimization Word Problems)

Phần 1. Biết khảo sát hàm số nhưng không lập được hàm

Bài toán tối ưu trong đề thi luôn có hai nửa. Nửa sau — khảo sát hàm số để tìm giá trị lớn nhất — học sinh làm rất tốt, vì đã luyện hàng trăm lần. Nửa trước — từ tình huống thực tế lập ra hàm số ấy — mới là chỗ mất điểm.

Ba biểu hiện quen thuộc: đặt hai ẩn rồi không biết khử ẩn nào; lập được hàm nhưng quên tìm miền xác định thực tế nên nhận một nghiệm vô nghĩa (cạnh âm, thời gian âm); và kết luận theo giá trị $x$ tối ưu trong khi đề hỏi giá trị lớn nhất của đại lượng.

Chương trình AP Calculus gọi nhóm bài này là Optimization Word Problems và dạy nó như một quy trình bốn bước cố định, trong đó bước tìm miền được coi trọng ngang bước khảo sát.

Phần 2. Bản chất: đưa mọi thứ về MỘT biến, trên MỘT miền

Công cụ toán học chỉ tìm được cực trị của hàm một biến trên một tập xác định. Vì vậy mọi bài tối ưu đều là bài toán dịch: từ mô tả bằng lời sang đúng hai thứ đó.

Quy trình bốn bước

Bước 1 — Vẽ hình và đặt ẩn TRÊN HÌNH. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với cách làm quen thuộc. Đặt ẩn theo câu chữ của đề thường dẫn tới hai, ba ẩn; đặt ẩn trên hình thì các đại lượng khác tự biểu diễn được theo nó.

Bước 2 — Viết đại lượng cần tối ưu theo đúng một ẩn. Nếu còn hai ẩn thì phải có một phương trình ràng buộc để khử bớt — thường là chu vi cho trước, diện tích cho trước, tổng chi phí cho trước.

Bước 3 — Tìm miền xác định THỰC TẾ. Không phải tập xác định của biểu thức, mà tập giá trị mà tình huống cho phép. Với hộp cắt từ tấm tôn $24$ cm: $x > 0$ và $24 - 2x > 0$, tức $0 < x < 12$.

Bước 4 — Khảo sát trên đúng miền ấy, rồi trả lời đúng câu đề hỏi.

Ba lưu ý

• Bỏ bước 3 là nguồn sai lớn nhất. Hàm $V(x) = x(24-2x)^2$ có nghiệm đạo hàm tại $x=4$ và $x=12$. Nghiệm $x=12$ cho $V=0$ — hình học tương ứng là cắt hết tấm tôn, không còn hộp nào. Nó bị loại vì miền, không phải vì phép tính.
• Kiểm tra cực trị trên miền ĐÓNG hay MỞ. Miền mở thì giá trị lớn nhất có thể không đạt được; khi ấy phải xét giới hạn ở hai đầu.
• Trả lời đúng đại lượng. Đề hỏi "thể tích lớn nhất" thì đáp số là $V$, không phải $x$. Phương án nhiễu cho giá trị $x$ luôn có mặt.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Từ một tấm tôn hình vuông cạnh $24$ cm, người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gấp lên thành một cái hộp không nắp. Thể tích lớn nhất của hộp là A. $1024$ cm³ B. $4$ cm³ C. $2048$ cm³ D. $512$ cm³

Cách 1 — Đặt ẩn theo lời đề

"Cắt bốn hình vuông bằng nhau" → gọi cạnh hình vuông cắt đi là $a$; "gấp thành hộp" → gọi cạnh đáy là $b$, chiều cao là $h$. Ba ẩn.

Rồi phải lập quan hệ: $h = a$, $b = 24 - 2a$. Học sinh viết $V = b^2 h$ nhưng rất dễ nhầm thành $V = b^2 a$ với $b = 24 - a$ (quên rằng mỗi cạnh bị cắt ở hai đầu).

Điểm yếu. Ba ẩn cho ba cơ hội nhầm, và lỗi "$24-a$ thay vì $24-2a$" là lỗi phổ biến nhất của cả dạng bài. Nó dẫn tới $V = a(24-a)^2$, cực đại tại $a=8$, cho $V=2048$ — và $2048$ có mặt trong bốn phương án, nên học sinh không có dấu hiệu nào để nghi ngờ.

Cách 2 — Đặt ẩn trên hình, theo bốn bước

Bước 1. Vẽ tấm tôn, đánh dấu bốn góc bị cắt, gọi cạnh mỗi hình vuông cắt đi là $x$. Nhìn hình thấy ngay: sau khi gấp, chiều cao hộp là $x$, còn đáy là hình vuông cạnh $24 - 2x$ (mỗi chiều mất $x$ ở cả hai đầu).

Bước 2.

Bước 3. Điều kiện thực tế: $x>0$ và $24-2x>0$, vậy

Bước 4. Khai triển rồi lấy đạo hàm:

Loại $x=12$ vì không thuộc miền $(0;12)$. Lập bảng biến thiên trên $(0;12)$: $V'$ dương trên $(0;4)$, âm trên $(4;12)$ → cực đại tại $x=4$.

Đáp án A.

	Đặt ẩn theo lời	Đặt ẩn trên hình
Số ẩn ban đầu	3	1
Rủi ro đặc trưng	quên hệ số 2 khi trừ hai đầu	rất thấp, vì nhìn thấy hai nhát cắt
Miền xác định	hay bị bỏ qua	là bước bắt buộc trong quy trình
Trả lời	dễ nhầm trả $x$	rõ ràng từ bước 2

⭐ Nhận diện phương án nhiễu. B ($4$) là giá trị $x$, không phải thể tích — lỗi trả nhầm đại lượng. C ($2048$) là kết quả của đúng lỗi nêu ở Cách 1: dùng $24-x$ thay vì $24-2x$, cực đại rơi vào $x=8$. D ($512$) là $V(8)$ — chọn đúng công thức nhưng lấy nhầm nghiệm. Ba nhiễu, ba lỗi có thật.

Phần 4. Góc giáo viên

Bài toán tối ưu là nơi năng lực mô hình hoá toán học của Chương trình GDPT 2018 thể hiện rõ nhất: học sinh phải lập được mô hình trước khi giải.

• Chấm điểm riêng cho bước lập hàm và bước tìm miền. Nếu chỉ chấm đáp số, học sinh sẽ tiếp tục bỏ qua hai bước này.
• Cho bài tập dừng ở bước 3. "Hãy lập hàm số và nêu miền xác định thực tế, không cần giải." Nhanh, và nhắm đúng chỗ yếu.
• Dùng bài toán có ràng buộc chi phí, không chỉ hình học: bể cá đáy vuông thể tích cho trước, chi phí đáy khác chi phí thành. Đây là dạng gần thực tế nhất và cũng hay xuất hiện trong đề.

Bẫy đề thi. Thứ nhất, miền thực tế bị bỏ quên. Thứ hai, đề hỏi giá trị nhỏ nhất của chi phí trong khi học sinh tìm cực đại theo thói quen. Thứ ba, hàm đạt cực trị tại điểm biên của miền đóng — khi đó đạo hàm không bằng $0$ ở đó, và phải so cả giá trị tại hai đầu mút.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một sợi dây dài $60$ cm được uốn thành hình chữ nhật. Tìm diện tích lớn nhất có thể.

Gợi ý: gọi một cạnh là $x$, cạnh kia là $30-x$ (vì nửa chu vi là $30$). Miền: $0<x<30$. $S(x)=x(30-x)$. Đáp án: $S_{\max} = 225$ cm² khi $x=15$ (hình vuông).

Bài 2. Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật không nắp, đáy là hình vuông cạnh $x$, thể tích $32$ dm³. Tìm $x$ để tổng diện tích kính dùng làm bể là nhỏ nhất.

Gợi ý: chiều cao $h = 32/x^2$. Diện tích $S = x^2 + 4xh = x^2 + 128/x$, miền $x>0$. Cho $S'=0$. Đáp án: $x = 4$ dm, khi đó $S_{\min} = 48$ dm².

---

Nhóm bài tối ưu chỉ thành thạo khi học sinh gặp đủ các kiểu ràng buộc — chu vi, thể tích, chi phí — và được chỉ ra ngay mình hỏng ở bước lập hàm hay bước miền. Thầy cô có thể dựng bộ đề đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu, và xem phương án nhiễu nào bị chọn nhiều — chọn phương án "giá trị $x$" là dấu hiệu lớp đang trả lời nhầm đại lượng. Dùng thử miễn phí tại đây.

---