Giải nhanh tổ hợp xác suất bằng sơ đồ cây quyết định (Tree Diagram) chuẩn thống kê Mỹ

Phần 1. Không biết nên nhân hay nên cộng

Bài xác suất nhiều bước — "lấy lần lượt hai viên bi không hoàn lại", "bắn hai phát súng", "kiểm tra ba sản phẩm" — có một chỗ gãy rất đặc trưng: học sinh không biết khi nào nhân, khi nào cộng.

Sách dạy hai quy tắc: nhân cho biến cố đồng thời xảy ra, cộng cho biến cố xung khắc. Nhưng trong một bài có bốn kết cục, việc xác định cái nào đồng thời, cái nào xung khắc lại là phần khó nhất — và nếu nhầm, đáp số sai mà không có dấu hiệu gì.

Chương trình AP Statistics giải quyết bằng một hình vẽ: sơ đồ cây. Khi bài toán đã nằm trên cây, quy tắc trở nên hiển nhiên: nhân dọc theo một nhánh, cộng ngang giữa các nhánh.

Phần 2. Bản chất: mỗi nhánh là một kịch bản trọn vẹn

Mỗi đường đi từ gốc đến ngọn là một kịch bản đầy đủ, ví dụ "lần một đỏ, lần hai xanh". Hai điều đúng với mọi sơ đồ cây:

• Xác suất của một nhánh = tích các xác suất dọc theo nhánh đó. Vì đi hết nhánh nghĩa là mọi sự kiện trên đường đi đều xảy ra.
• Các nhánh khác nhau luôn xung khắc, nên xác suất của một biến cố gộp = tổng xác suất các nhánh thoả mãn.

Từ đó, câu hỏi "nhân hay cộng" biến mất: nhân khi đi dọc, cộng khi gom nhánh.

Quy trình bốn bước

Bước 1 — Xác định số tầng = số bước của phép thử. Lấy hai bi là hai tầng.

Bước 2 — Ghi xác suất lên từng cành. Đây là chỗ quyết định: xác suất ở tầng hai là xác suất có điều kiện, tính trên tình huống đã xảy ra ở tầng một.

Bước 3 — Nhân dọc để được xác suất mỗi nhánh.

Bước 4 — Cộng những nhánh thoả mãn yêu cầu của đề.

Ba lưu ý

• Tổng xác suất các cành tại MỖI nút phải bằng 1. Đây là phép kiểm rẻ nhất và bắt được hầu hết lỗi ghi sai.
• Tổng xác suất tất cả các nhánh ngọn cũng bằng 1. Phép kiểm thứ hai, chạy sau khi nhân dọc.
• Phân biệt "có hoàn lại" và "không hoàn lại". Có hoàn lại thì tầng hai giống hệt tầng một (biến cố độc lập); không hoàn lại thì mẫu số giảm đi một.

Phần 3. Bài toán thực chiến

Đề. Một hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh. Lấy lần lượt 2 viên bi, không hoàn lại. Tính xác suất để hai viên lấy ra khác màu. A. $\dfrac{3}{5}$ B. $\dfrac{12}{25}$ C. $\dfrac{3}{10}$ D. $\dfrac{2}{5}$

Cách 1 — Dùng tổ hợp

Số cách lấy 2 bi từ 5 bi: $C_5^2 = 10$. Số cách lấy 1 đỏ và 1 xanh: $C_3^1 \cdot C_2^1 = 6$.

Đáp án A — nhanh và đúng.

Điểm yếu. Cách này chỉ chạy khi đề không quan tâm thứ tự và mọi kết cục đồng khả năng. Đổi đề thành "tính xác suất viên thứ nhất đỏ và viên thứ hai xanh" thì tổ hợp không dùng trực tiếp được. Và phương án B ($\dfrac{12}{25}$) chính là kết quả nếu học sinh nhầm sang có hoàn lại — một nhầm lẫn mà cách tổ hợp không giúp phát hiện, vì nó không bắt ta viết ra mẫu số của từng lần.

Cách 2 — Sơ đồ cây

Tầng 1: $P(\text{đỏ}) = \dfrac{3}{5}$, $P(\text{xanh}) = \dfrac{2}{5}$. Tổng $= 1$ ✓

Tầng 2 — mẫu số còn $4$ vì đã lấy ra một viên:

• Sau khi lấy đỏ: còn 2 đỏ, 2 xanh → $\dfrac{2}{4}$ và $\dfrac{2}{4}$. Tổng $=1$ ✓
• Sau khi lấy xanh: còn 3 đỏ, 1 xanh → $\dfrac{3}{4}$ và $\dfrac{1}{4}$. Tổng $=1$ ✓

Nhân dọc từng nhánh:

Nhánh	Phép tính	Xác suất
Đỏ → Đỏ	$\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}$	$\dfrac{6}{20}$
Đỏ → Xanh	$\dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4}$	$\dfrac{6}{20}$
Xanh → Đỏ	$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4}$	$\dfrac{6}{20}$
Xanh → Xanh	$\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}$	$\dfrac{2}{20}$

Tổng bốn nhánh $= \dfrac{20}{20} = 1$ ✓ — phép kiểm chạy được ngay.

Cộng hai nhánh khác màu:

Đáp án A.

	Tổ hợp	Sơ đồ cây
Tốc độ với bài đơn giản	nhanh hơn	chậm hơn ~1 phút
Trả lời được câu có THỨ TỰ	không trực tiếp	có, đọc thẳng một nhánh
Có mốc kiểm	không	hai mốc: tổng tại nút, tổng nhánh
Phát hiện nhầm "có/không hoàn lại"	không	có — mẫu số hiện ra trên từng cành
Mở rộng lên ba bước	phải đếm lại	thêm một tầng

⭐ Giá trị lớn nhất của sơ đồ cây không phải tốc độ, mà là HAI PHÉP KIỂM. Một bài xác suất tính sai thường không có dấu hiệu nào — con số ra vẫn nằm giữa $0$ và $1$, vẫn trông hợp lý. Tổng tại mỗi nút và tổng các nhánh là hai chỗ duy nhất mà cái sai lộ ra.

Khi nào cây thắng hẳn

Bài hỏi xác suất có điều kiện ngược: "Biết viên thứ hai là đỏ, tính xác suất viên thứ nhất cũng đỏ." Với cây, chỉ cần đọc:

Đây chính là công thức Bayes, nhưng học sinh không cần nhớ tên nó.

Phần 4. Góc giáo viên

Sơ đồ cây phục vụ năng lực mô hình hoá toán học: chuyển một phép thử nhiều bước thành một cấu trúc nhìn thấy được.

• Bắt buộc kiểm tổng tại mỗi nút trước khi nhân. Thói quen này bắt lỗi sớm hơn mọi lời nhắc.
• Ra bài tập chỉ yêu cầu VẼ CÂY và ghi xác suất các cành, không tính. Nhanh, và nhắm đúng bước hay sai.
• Dùng cây để dạy Bayes thay vì dạy công thức. Học sinh lớp 11 hiểu được "chia cho tổng các nhánh có kết cục ấy" dễ hơn nhiều so với một công thức phân số chồng tầng.

Bẫy đề thi. Thứ nhất, đề nói "lấy đồng thời hai viên" — khi ấy không có thứ tự, và cây hai tầng vẫn dùng được nhưng phải gộp hai nhánh đối xứng. Thứ hai, đề cho ba bước, cây thành tám nhánh — vẫn làm được nhưng nên chỉ vẽ nhánh cần. Thứ ba, xác suất ở tầng hai bị chép nguyên từ tầng một do quên trừ đi viên đã lấy.

Phần 5. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hộp có 4 bi trắng, 3 bi đen. Lấy lần lượt 2 viên không hoàn lại. Tính xác suất cả hai cùng màu.

Gợi ý: bốn nhánh. Trắng–Trắng: $\dfrac47\times\dfrac36$; Đen–Đen: $\dfrac37\times\dfrac26$. Kiểm tổng bốn nhánh bằng 1. Đáp án: $\dfrac{12}{42}+\dfrac{6}{42} = \dfrac{18}{42} = \dfrac{3}{7}$.

Bài 2. Một xạ thủ bắn hai phát độc lập, xác suất trúng mỗi phát là $0{,}8$. Tính xác suất ít nhất một phát trúng.

Gợi ý: vẽ cây hai tầng, hai tầng giống nhau vì độc lập. Cách nhanh: lấy $1$ trừ nhánh "trượt–trượt". Đáp án: $1 - 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}96$.

---

Xác suất là mảng mà sai một bước vẫn cho ra con số trông hợp lý, nên học sinh cần mốc để tự kiểm. Thầy cô có thể dựng bộ đề luyện đúng dạng này trên Grade: chấm tự động ngay khi nộp kèm lời giải chi tiết từng câu, và xem tỷ lệ chọn phương án "có hoàn lại" để biết lớp còn nhầm chỗ nào. Dùng thử miễn phí tại đây.

---