Đề thi học kì 1 Toán 11 - Đề số 2

Toàn bộ câu hỏi của đề. Đáp án và lời giải hiện sau khi bạn làm bài.

1. 1Một đáp án · Nhận biết

   Số nào dưới đây là một nghiệm của phương trình $\sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$?

   A. A

   $\frac{\pi }{2}$

   B. B

   $\frac{\pi }{4}$

   C. C

   $- \frac{{3\pi }}{4}$

   D. D

   $- \frac{\pi }{4}$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\frac{\pi }{4}">$\frac{\pi }{4}$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Tra bảng giá trị lượng giác hoặc sử dụng máy tính cá nhân.

   Lời giải chi tiết:

   Ta có $\sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

   Báo lỗi
2. 2Một đáp án · Nhận biết

   Đồ thị của hàm số y = cosx có tính chất nào dưới đây?

   A. A

   Đối xứng qua gốc tọa độ

   B. B

   Đối xứng qua trục hoành

   C. C

   Đối xứng qua trục tung

   D. D

   Đối xứng qua điểm I(0;1)

   Đáp án: <p>Đối xứng qua trục tung</p>

   Phương pháp giải:

   Sử dụng tính chất của hàm số và đồ thị hàm số y = cosx.

   Lời giải chi tiết:

   Hàm số y = cosx là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung.

   Báo lỗi
3. 3Một đáp án · Nhận biết

   Cho dãy số vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$, biết $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 3,n \in {\mathbb{N}^*}\end{array} \right.$. Tìm số hạng thứ 4 của dãy số.

   A. A

   21

   B. B

   29

   C. C

   11

   D. D

   13

   Đáp án: <p>29</p>

   Phương pháp giải:

   Tìm lần lượt 4 số hạng đầu của dãy số.

   Lời giải chi tiết:

   Ta có: ${u_1} = 1$; ${u_2} = 2.1 + 3 = 5$;

   ${u_3} = 2.5 + 3 = 13$; ${u_4} = 2.13 + 3 = 29$.

   Báo lỗi
4. 4Một đáp án · Nhận biết

   Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = 1$ và ${u_2} = 3$. Giá trị của ${u_3}$ bằng

   A. A

   6

   B. B

   9

   C. C

   4

   D. D

   5

   Đáp án: <p>5</p>

   Phương pháp giải:

   ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$.

   Lời giải chi tiết:

   Ta có ${u_2} = {u_1} + d \Leftrightarrow 3 = 1 + d \Leftrightarrow d = 2$.

   Suy ra ${u_3} = {u_2} + d = 3 + 2 = 5$.

   Báo lỗi
5. 5Một đáp án · Nhận biết

   Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 3$, công bội q = 2. Giá trị của ${u_2}$ bằng

   A. A

   8

   B. B

   9

   C. C

   6

   D. D

   4

   Đáp án: <p>6</p>

   Phương pháp giải:

   ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$.

   Lời giải chi tiết:

   ${u_2} = {u_1}q = 3.2 = 6$.

   Báo lỗi
6. 6Một đáp án · Nhận biết

   Trong các dãy số sau, dãy số nào có giới hạn bằng 0?

   A. A

   Dãy $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{{n + 1}}{n}$

   B. B

   Dãy $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{n}$

   C. C

   Dãy $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = 2023$

   D. D

   Dãy $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{{2n + 3}}{n}$

   Đáp án: <p>Dãy <span data-type="math-inline" data-latex="\left( {{v_n}} \right)">$\left( {{v_n}} \right)$</span> với <span data-type="math-inline" data-latex="{v_n} = \frac{1}{n}">${v_n} = \frac{1}{n}$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Theo định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số.

   Lời giải chi tiết:

   Ta có: $\lim \frac{{n + 1}}{n} = 1$; $\lim \frac{1}{n} = 0$; $\lim 2023 = 2023$; $\lim \frac{{2n + 3}}{n} = 2$.

   Báo lỗi
7. 7Một đáp án · Nhận biết

   Cho hàm số $f(x) = \frac{{x - 3}}{{x - 2}}$. Khẳng định nào sau đây sai?

   A. A

   f(x) liên tục tại ${x_0} = 3$

   B. B

   f(x) liên tục tại ${x_0} = - 2$

   C. C

   f(x) liên tục tại ${x_0} = 2$

   D. D

   f(x) liên tục tại ${x_0} = - 3$

   Đáp án: <p>f(x) liên tục tại <span data-type="math-inline" data-latex="{x_0} = 2">${x_0} = 2$</span></p>

   Phương pháp giải:

   f(x) không liên tục tại điểm hàm số không xác định.

   Lời giải chi tiết:

   Hàm số có tập xác định là $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\}$, do đó hàm số không liên tục tại ${x_0} = 2$.

   Báo lỗi
8. 8Một đáp án · Nhận biết

   Điều kiện để hai đường thẳng trong không gian song song với nhau là

   A. A

   Không có điểm chung

   B. B

   Đồng phẳng hoặc không có điểm chung

   C. C

   Đồng phẳng

   D. D

   Đồng phẳng và không có điểm chung

   Đáp án: <p>Đồng phẳng và không có điểm chung</p>

   Phương pháp giải:

   Sử dụng kiến thức về điều kiện để hai đường thẳng trong không gian song song với nhau.

   Lời giải chi tiết:

   Điều kiện để hai đường thẳng trong không gian song song với nhau là đồng phẳng và không có điểm chung.

   Báo lỗi
9. 9Một đáp án · Nhận biết

   Trong không gian, mệnh đề nào sau đây đúng?

   A. A

   Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng song song

   B. B

   Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng trùng nhau

   C. C

   Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau

   D. D

   Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau

   Đáp án: <p>Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau</p>

   Phương pháp giải:

   Sử dụng tính chất của phép chiếu song song.

   Lời giải chi tiết:

   Phép chiếu song song biến hai đường thẳng cắt nhau thành hai đường thẳng cắt nhau hoặc trùng nhau.

   Báo lỗi
10. 10Một đáp án · Nhận biết

    Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Chọn khẳng định đúng?

    A. A

    MN//(BCD)

    B. B

    MN//(ACD)

    C. C

    MN//(ABD)

    D. D

    MN//(ABC)

    Đáp án: <p>MN//(BCD)</p>

    Phương pháp giải:

    Đường thẳng song song với mặt phẳng nếu nó song song với một đường thẳng trong mặt phẳng đó.

    Lời giải chi tiết:

    Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình, suy ra MN//BC.

    Mà $MN\not{ \subset }(BCD)$, $BC \subset (BCD)$.

    Suy ra MN//(BCD).

    Báo lỗi
11. 11Một đáp án · Nhận biết

    Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

    Giá trị đại diện của nhóm thứ hai là

    

    A. A

    8

    B. B

    7

    C. C

    9

    D. D

    2

    Đáp án: <p>8</p>

    Phương pháp giải:

    Giá trị đại diện của nhóm là trung bình cộng của đầu mút trái và đầu mút phải nhóm đó.

    Lời giải chi tiết:

    Giá trị đại diện của nhóm thứ hai là $\frac{{7 + 9}}{2} = 8$.

    Báo lỗi
12. 12Một đáp án · Nhận biết

    Thống kê chiều cao của học sinh lớp 11A ta có bảng số liệu sau:

    Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh có chiều cao từ 168 cm trở lên?

    

    A. A

    11

    B. B

    20

    C. C

    31

    D. D

    8

    Đáp án: <p>11</p>

    Phương pháp giải:

    Số học sinh cần tìm là tổng tần số của các nhóm chứa giá trị từ 168 cm trở lên

    Lời giải chi tiết:

    Số học sinh có chiều cao từ 168 cm trở lên là 8 + 3 = 11.

    Báo lỗi
13. 13Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho góc $\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$.

    a

    $\cot \alpha \lt 0$.

    ĐúngSai

    b

    $\tan \left( {\pi - \alpha } \right) = \tan \alpha \lt 0$.

    ĐúngSai

    c

    Nếu $\sin \alpha = - \frac{3}{5}$ thì $\cos \alpha = \frac{4}{5}$.

    ĐúngSai

    d

    Nếu $\sin 2\alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}$ thì ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}$.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\cot \alpha \lt 0">$\cot \alpha \lt 0$</span>.</p> · <p>Nếu <span data-type="math-inline" data-latex="\sin \alpha = - \frac{3}{5}">$\sin \alpha = - \frac{3}{5}$</span> thì <span data-type="math-inline" data-latex="\cos \alpha = \frac{4}{5}">$\cos \alpha = \frac{4}{5}$</span>.</p> · <p>Nếu <span data-type="math-inline" data-latex="\sin 2\alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}">$\sin 2\alpha = \frac{{ - \sqrt 3 }}{2}$</span> thì <span data-type="math-inline" data-latex="{\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}">${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    a) Dựa vào vị trí tia cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác.

    b) Sử dụng công thức $\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha$.

    c) Sử dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha$ và dựa vào vị trí tia cuối của góc lượng giác để nhận xét dấu của giá trị lượng giác.

    d) Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. $\alpha \in \left( {\frac{{3\pi }}{2};2\pi } \right)$ nên tia cuối của góc lượng giác nằm ở góc phần tư thứ IV.

    Khi đó: $\sin \alpha \lt 0$, $\cos \alpha \gt 0$. Suy ra $\cot \alpha \lt 0$.

    b) Sai. $\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha$.

    c) Đúng. Ta có ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 3}}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$.

    Vì $\cos \alpha \gt 0$ nên $\cos \alpha = \sqrt {\frac{{16}}{{25}}} = \frac{4}{5}$.

    d) Đúng. Ta có: ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha$

    $= 1 + \sin 2\alpha = 1 + \left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}$.

    Báo lỗi
14. 14Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho ${u_n} = \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}}$. Biết $\lim {u_n} = \frac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$, $\frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó:

    a

    a + b = 8.

    ĐúngSai

    b

    a – b = -7.

    ĐúngSai

    c

    Bộ ba số a; b; 13 tạo thành một cấp số cộng có công sai d = 7.

    ĐúngSai

    d

    Bộ ba số a; b; 49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>a + b = 8.</p> · <p>Bộ ba số a; b; 49 tạo thành một cấp số nhân có công bội q = 7.</p>

    Phương pháp giải:

    Chia cả tử và mẫu của ${u_n}$ cho ${7^n}$.

    Áp dụng công thức $\lim {q^n} = 0$ khi $\left| q \right| \lt 1$.

    Lời giải chi tiết:

    Ta có $\lim {u_n} = \lim \frac{{{7^n} + {2^{2n - 1}} + {3^{n + 1}}}}{{{7^{n + 1}} + {5^{n - 1}}}} = \lim \frac{{{7^n} + {4^n}{{.2}^{ - 1}} + {3^n}.3}}{{{7^n}.7 + {5^n}{{.5}^{ - 1}}}}$

    $= \lim \frac{{1 + {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n}{{.2}^{ - 1}} + {{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}.3}}{{1.7 + {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}{{.5}^{ - 1}}}} = \frac{{1 + 0 + 0}}{{7 + 0}} = \frac{1}{7}$.

    Vậy $\frac{a}{b} = \frac{1}{7}$ hay a = 1, b = 7.

    a) Đúng. a + b = 1 + 7 = 8.

    b) Sai. a – b = 1 – 6 = -6.

    c) Sai. 1; 7; 13 tạo thành cấp số cộng có công sai bằng d = 6.

    d) Đúng. 1; 7; 49 tạo thành cấp số nhân có công bội q = 7.

    Báo lỗi
15. 15Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với hai cạnh đáy là AD và BC, đáy lớn là AD. Gọi M, N là lần lượt là trung điểm của SA và SD.

    a

    MN//BC.

    ĐúngSai

    b

    Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD.

    ĐúngSai

    c

    Gọi $AB \cap CD = \{ E\}$, $\{ F\} = SB \cap ME$. Khi đó $SB \cap (MCD) = \{ F\}$.

    ĐúngSai

    d

    Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>MN//BC.</p> · <p>Giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S và song song với AD.</p> · <p>Gọi <span data-type="math-inline" data-latex="AB \cap CD = \{ E\}">$AB \cap CD = \{ E\}$</span>, <span data-type="math-inline" data-latex="\{ F\} = SB \cap ME">$\{ F\} = SB \cap ME$</span>. Khi đó <span data-type="math-inline" data-latex="SB \cap (MCD) = \{ F\}">$SB \cap (MCD) = \{ F\}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    Sử dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN//AD.

    Mà AD//BC vì ABCD là hình thang có hai đáy AD, BC.

    Suy ra MN//BC.

    b) Đúng. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD \subset (SAD)\\BC \subset (SBC)\\S \in (SAD) \cap (SBC)\end{array} \right.$ suy ra giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng qua S, song song với AD, BC.

    c) Đúng. Vì $E \in AB \subset (SAB)$ suy ra $ME \subset (SAB)$.

    Xét trong mặt phẳng (SAB) có $\{ F\} = SB \cap ME$ (giả thiết) nên $F \in SB$ (1)

    Vì $E \in CD \subset (MCD)$ nên $ME \subset (MCD)$.

    Mà $F \in ME$ suy ra $F \in (MCD)$ (2)

    Từ (1), (2) suy ra $SB \cap (MCD) = \{ F\}$.

    d) Sai. Ta có $S \in (SAB) \cap (SCD)$.

    Mặt khác $\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset (SAB)\\E \in CD \subset (SCD)\end{array} \right.$ suy ra $E \in (SAB) \cap (SCD)$.

    Vậy SE là giao tuyến của (SAB) và (SCD).

    Báo lỗi
16. 16Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số học sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:

    

    a

    Cỡ mẫu là n = 50.

    ĐúngSai

    b

    Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [8;8,5).

    ĐúngSai

    c

    Mốt của mẫu số liệu bằng ${M_o} = 8,12$.

    ĐúngSai

    d

    Số trung bình của mẫu số liệu làm tròn đến hàng phần nghìn là $\overline x = 8,122$.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là [8;8,5).</p> · <p>Số trung bình của mẫu số liệu làm tròn đến hàng phần nghìn là <span data-type="math-inline" data-latex="\overline x = 8,122">$\overline x = 8,122$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    a) Cỡ mẫu bằng tổng tần số trong bảng số liệu.

    b) Nhóm chứa mốt có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.

    c) Công thức tính mốt thuộc nhóm $[{u_m};{u_{m + 1}})$:

    ${M_o} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right)\left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)$; trong đó ${n_m}$ là tần số nhóm thứ m.

    d) Công thức tính số trung bình: $\overline x = \frac{{{c_1}{n_1} + {c_2}{n_2}... + {c_n}{n_k}}}{N}$; trong đó N là kích thước của bảng tần số k nhóm, ${n_i}$ là tần số nhóm i, ${c_i}$ là giá trị đại diện nhóm i $(1 \le i \le k)$.

    Lời giải chi tiết:

    a) Sai. n = 8 + 10 + 16 + 24 + 13 + 7 + 4 = 82.

    b) Đúng. Nhóm chứa mốt là [8;8,5).

    c) Sai. ${M_o} = 8 + \frac{{24 - 16}}{{\left( {24 - 16} \right)\left( {24 - 13} \right)}}.\left( {8,5 - 8} \right) = \frac{{177}}{{22}} = 8,0(45)$.

    d) Đúng. $\overline x = \frac{{6,75.8 + 7,25.10 + 7,75.16 + 8,25.24 + 8,75.13 + 9,25.7 + 9,75.4}}{{82}} = \frac{{333}}{{41}} \approx 8,122$.

    Báo lỗi
17. 17Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0 \le t \lt 24)$ cho bởi công thức $h = \cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 2\pi } \right) + 5$. Hỏi trong ngày mực nước xuống thấp nhất trễ nhất là mấy giờ?

    Đáp án:

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
18. 18Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Người ta thiết kế số ghế ngồi trên khán đài một sân vận động bóng đá như sau. Hàng ghế đầu tiên gần sân bóng đá nhất có 1600 ghế. Kể từ hàng thứ hai trở đi, mỗi hàng liên sau hơn hàng liên trước 400 ghế. Muốn sức chứa trên khán đài có ít nhất 222000 ghế thì cần phải thiết kế ít nhất bao nhiêu hàng ghế?

    Đáp án:

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
19. 19Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Tìm công bội của cấp số nhân thỏa $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40\end{array} \right.$ là $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị a + b là bao nhiêu?

    Đáp án:

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
20. 20Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a(x + 2)}}{{{x^3} + 8}}\\2x + b\end{array} \right.$$\begin{array}{l}khi\\khi\end{array}$$\begin{array}{l}x \gt - 2\\x \le - 2\end{array}$. Với a, b là các số thực. Để hàm số đã cho liên tục tại x = -2 thì a – 12b bằng bao nhiêu?

    Đáp án:

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
21. 21Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. P là điểm thuộc CD sao cho PD = 2PC. Gọi Q là giao diểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP). Tính tỉ số $\frac{{AQ}}{{AD}}$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

    Đáp án:

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
22. 22Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Một người thống kê lại thời gian thực hiện các cuộc gọi điện thoại của người đó trong một tuần ở bảng sau:

    Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu bằng bao nhiêu?

    Đáp án:

    Đáp án: 1
    Báo lỗi