Đề thi học kì 1 Toán 12 - Đề số 6

Toàn bộ câu hỏi của đề. Đáp án và lời giải hiện sau khi bạn làm bài.

1. 1Một đáp án · Nhận biết

   Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

   Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

   

   A. A

   $(-\infty;0)$.

   B. B

   $(1;+\infty)$.

   C. C

   $(-\infty;+\infty)$.

   D. D

   $(0;1)$.

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="(0;1)">$(0;1)$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   Dựa vào đồ thị hàm số, chỉ ra sự biến thiên.

   Lời giải chi tiết:

   Hàm số đã cho nghịch biến trên $(0;1)$.

   Báo lỗi
2. 2Một đáp án · Nhận biết

   Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

   Hàm số đã cho đạt cực đại tại

   

   A. A

   $x = - 2$.

   B. B

   $x = 1$.

   C. C

   $x = - 1$.

   D. D

   $x = 2$.

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="x = - 1">$x = - 1$</span>.</p>

   Phương pháp giải:

   Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

   Lời giải chi tiết:

   Hàm số đạt cực đại tại $x = - 1$.

   Báo lỗi
3. 3Một đáp án · Nhận biết

   Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-2;4] bằng

   

   A. A

   -1

   B. B

   10

   C. C

   1

   D. D

   8

   Đáp án: <p>10</p>

   Phương pháp giải:

   Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

   Lời giải chi tiết:

   Quan sát bảng biến thiên, ta thấy giá trị lớn nhất của f(x) trên [-2;4] là f(-1) = 10.

   Báo lỗi
4. 4Một đáp án · Nhận biết

   Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x - 7}}{{x + 2}}$ là:

   A. A

   (3;-2)

   B. B

   (-2;3)

   C. C

   (2;-3)

   D. D

   (-3;2)

   Đáp án: <p>(-2;3)</p>

   Phương pháp giải:

   Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của các đường tiệm cận.

   Lời giải chi tiết:

   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận ngang y = 3, suy ra tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận có tọa độ (-2;3).

   Báo lỗi
5. 5Một đáp án · Nhận biết

   Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu f’(x) như hình vẽ dưới đây.

   Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

   

   A. A

   $(2;3)$

   B. B

   $( - 10; - 5)$

   C. C

   $(0;1)$

   D. D

   $(0;2)$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="(2;3)">$(2;3)$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Quan sát bảng xét dấu và nhận xét.

   Lời giải chi tiết:

   Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2;3) vì trên khoảng đó, f’(x) > 0.

   Báo lỗi
6. 6Một đáp án · Thông hiểu

   Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D' (tham khảo hình vẽ).

   Góc giữa hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD'}$ bằng

   

   A. A

   ${135^o}$

   B. B

   ${60^o}$

   C. C

   ${30^o}$

   D. D

   ${45^o}$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="{135^o}">${135^o}$</span></p>

   Phương pháp giải:

   Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).

   Lời giải chi tiết:

   $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - {45^o} = {135^o}$.

   Báo lỗi
7. 7Một đáp án · Nhận biết

   Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

   A. A

   (5; 3; 0)

   B. B

   (3; 5; 0)

   C. C

   (0; 5; 2)

   D. D

   (3; 0; 2)

   Đáp án: <p>(3; 5; 0)</p>

   Phương pháp giải:

   Hình chiếu vuông góc của điểm (x; y; z) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (x; y; 0).

   Lời giải chi tiết:

   Hình chiếu vuông góc của điểm (3; 5; 2) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (3; 5; 0).

   Báo lỗi
8. 8Một đáp án · Nhận biết

   Không gian với trục hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\overrightarrow a = 2\overrightarrow j - \overrightarrow i + 3\overrightarrow k .$ Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là

   A. A

   $\overrightarrow a \left( { - 1;2; - 3} \right)$

   B. B

   $\overrightarrow a \left( {2; - 1;3} \right)$

   C. C

   $\overrightarrow a \left( { - 1;2;3} \right)$

   D. D

   $\overrightarrow a \left( {2; - 1; - 3} \right)$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="\overrightarrow a \left( { - 1;2;3} \right)">$\overrightarrow a \left( { - 1;2;3} \right)$</span></p>

   Phương pháp giải:

   $\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = \left( {m;n;p} \right)$.

   Lời giải chi tiết:

   $\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + 3\overrightarrow k = \left( { - 1;2;3} \right)$.

   Báo lỗi
9. 9Một đáp án · Nhận biết

   Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(-2;1;0), B(3;-2;1). Tọa độ của vecto $\overrightarrow {AB}$ là

   A. A

   $( - 5;3; - 1)$

   B. B

   $(5; - 3;1)$

   C. C

   $(1; - 1;1)$

   D. D

   $( - 1;1; - 1)$

   Đáp án: <p><span data-type="math-inline" data-latex="(5; - 3;1)">$(5; - 3;1)$</span></p>

   Phương pháp giải:

   $\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})$.

   Lời giải chi tiết:

   $\overrightarrow {AB} = (3 + 2; - 2 - 1;1 - 0) = (5; - 3;1)$.

   Báo lỗi
10. 10Một đáp án · Thông hiểu

    Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; -1) và B(2; 4; 1). Trọng tâm của tam giác OAB có tọa độ là

    A. A

    (1; 2; 0).

    B. B

    (-1; -2; 0).

    C. C

    (3; 6; 0).

    D. D

    (1; 3; 0).

    Đáp án: <p>(1; 2; 0).</p>

    Phương pháp giải:

    Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$, $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$, $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$.

    Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là $G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

    Lời giải chi tiết:

    Trọng tâm tam giác là $G\left( {\frac{{0 + 1 + 2}}{3};\frac{{0 + 2 + 4}}{3};\frac{{0 - 1 + 1}}{3}} \right) \Rightarrow G(1;2;0)$.

    Báo lỗi
11. 11Một đáp án · Nhận biết

    Bảng thống kê dưới đây cho biết thu nhập bình quân đầu người/tháng của người dân Hà Nội (tính theo triệu đồng) trong giai đoạn từ năm 2018 đến năm 2024:

    Mẫu số liệu thống kê trên có khoảng biến thiên bằng bao nhiêu (tính theo triệu đồng)?

    

    A. A

    2,660

    B. B

    1,645

    C. C

    0,867

    D. D

    2,290

    Đáp án: <p>1,645</p>

    Phương pháp giải:

    Lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng trừ đi đầu mút trái của nhóm đầu tiên (chứa mẫu số liệu).

    Lời giải chi tiết:

    Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 7,546 - 5,901 = 1,645$.

    Báo lỗi
12. 12Một đáp án · Thông hiểu

    Một bệnh viện thống kê lại số cân nặng của 20 bé sơ sinh trong bảng sau:

    Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

    

    A. A

    3,39

    B. B

    11,62

    C. C

    0,1314

    D. D

    0,36

    Đáp án: <p>0,1314</p>

    Phương pháp giải:

    Lập bảng tần số theo giá trị đại diện, tính số trung bình rồi tính phương sai.

    Lời giải chi tiết:

    Số trung bình: $\overline {\rm{x}} = \frac{{3.2,85 + 6.3,15 + 5.3,45 + 4.3,75 + 2.4,05}}{{20}} = 3,39$.

    Phương sai: ${s^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0,1314$.

    Báo lỗi
13. 13Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{a} = (-2; 1; 1)$, $\vec{b} = (2; -1; 1)$, $\vec{c} = (x; 1; y)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

    a

    $|\vec{a}| = \sqrt{6}$.

    ĐúngSai

    b

    Tọa độ của $\vec{u} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

    ĐúngSai

    c

    Vectơ $\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

    ĐúngSai

    d

    Gọi $\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Khi đó $\cos \varphi = -\frac{2}{3}$.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p><span data-type="math-inline" data-latex="|\vec{a}| = \sqrt{6}">$|\vec{a}| = \sqrt{6}$</span>.</p> · <p>Gọi <span data-type="math-inline" data-latex="\varphi">$\varphi$</span> là góc giữa hai vectơ <span data-type="math-inline" data-latex="\vec{a}">$\vec{a}$</span> và <span data-type="math-inline" data-latex="\vec{b}">$\vec{b}$</span>. Khi đó <span data-type="math-inline" data-latex="\cos \varphi = -\frac{2}{3}">$\cos \varphi = -\frac{2}{3}$</span>.</p>

    Phương pháp giải:

    a) $\overrightarrow a = (x;y;z) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}$.

    b) Cho $\overrightarrow a ({x_a};{y_a};{z_a})$, $\overrightarrow b ({x_b};{y_b};{z_b})$ và số thực k.

    + $\overrightarrow a + \overrightarrow b = ({x_a} + {x_b};{y_a} + {y_b};{z_a} + {z_b})$.

    + $\overrightarrow a - \overrightarrow b = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})$.

    + $k\overrightarrow a = (k{x_a};k{y_a};k{z_a})$.

    c) Nếu $\overrightarrow a$ cùng phương với $\overrightarrow b$ thì $\overrightarrow a = k\overrightarrow b$.

    d) $\cos \alpha = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}$.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6$.

    b) Sai. $\overrightarrow u = \left( { - 2.( - 2) + 3.2; - 2.1 + 3.( - 1); - 2.1 + 3.1} \right) = \left( {10; - 5;1} \right)$.

    c) Sai. $\overrightarrow c$ cùng phương với $\overrightarrow b$ khi $\overrightarrow c = k\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2k\\1 = - k\\y = k\end{array} \right.$

    $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = - 1\\x = - 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow x + y = - 3$.

    d) Đúng. $\cos \varphi = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2.2 + 1.( - 1) + 1.1}}{{\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = - \frac{2}{3}$.

    Báo lỗi
14. 14Đúng/Sai nhiều ý · Thông hiểu

    Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

    

    a

    Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

    ĐúngSai

    b

    Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

    ĐúngSai

    c

    Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

    ĐúngSai

    d

    Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

    ĐúngSai

    Đáp án đúng: <p>Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.</p> · <p>Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).</p> · <p>Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.</p>

    Phương pháp giải:

    Lập bảng tần số ghép nhóm từ biểu đồ. Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

    Lời giải chi tiết:

    a) Đúng. Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

    b) Đúng. Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

    Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là: R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

    c) Sai. Ta có:

    Cỡ mẫu n = 25.

    Gọi ${x_1};...;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

    Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \in$ [5,7; 5,9). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 5,7 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 3}}{4}\left( {5,9 - 5,7} \right) = 5,8625$.

    Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \in$ [6,3; 6,5). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 6,3 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - \left( {3 + 4 + 6 + 5} \right)}}{5}\left( {6,5 - 6,3} \right) = 6,33$.

    Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 6,33 - 5,8625 = 0,4675$.

    d) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

    $\overline x = \frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}} = 6,088$.

    Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

    ${S^2} = \frac{1}{{25}}\left[ {3.{{\left( {5,6} \right)}^2} + 4.{{\left( {5,8} \right)}^2} + 6.{{\left( {6,0} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,2} \right)}^2} + 5.{{\left( {6,4} \right)}^2} + 2.{{\left( {6,6} \right)}^2}} \right] - {\left( {6,088} \right)^2} = 0,086656$.

    Báo lỗi
15. 15Điền vào chỗ trống · Thông hiểu
    Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như sau:

    Tính giá trị biểu thức T = a + 2b + 3c + 4d.

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
16. 16Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Một doanh nghiệp dự định sản xuất 200 máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán x máy tính bảng $\left( {1 \le x \le 200,x \in \mathbb{N}} \right)$ thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là $p(x) = 4000 - 10x$ (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là $c(x) = {x^2} - 70x + 400 + \frac{{1000}}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
17. 17Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2}, \overrightarrow{F_3}$ lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đều có độ lớn bằng 60 (N). Cho biết các đường thẳng OA, OB, OC cùng tạo với mặt phẳng ngang một góc bằng $30^o$. Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
18. 18Điền vào chỗ trống · Vận dụng
    Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Khi đó, tọa độ của điểm treo đèn là I(x; y; z), hãy tính x + y + z.

    Đáp án: 1
    Báo lỗi
19. 19Tự luận · Nhận biết

    a) Lập bảng biến thiên của hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}$.

    b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha + 1}}$.

    0 từ
    Báo lỗi
20. 20Tự luận · Nhận biết

    Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

    a) Tính chu vi của tam giác ABC.

    b) Tính $\widehat {BAC}$.

    0 từ
    Báo lỗi
21. 21Tự luận · Thông hiểu

    Kết quả khảo sát cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi ở một khu nuôi tôm được biểu diễn ở biểu đồ tần số dưới đây.

    a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

    b) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

    

    0 từ
    Báo lỗi