Toán — THPT Quốc gia 2022 (mã đề 104)

Câu 1.

Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức $w = 1 - 4i$ ?

A.
$z_1 = 5 - 4i.$
B.
$z_4 = 1 + 4i.$
C.
$z_3 = 1 - 5i.$
D.
$z_2 = 3 + 4i.$

Câu 2.

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

A.
(1; 3).
B.
(3; 1).
C.
(-1; -1).
D.
(1; -1).

Câu 3.

Phần ảo của số phức $z = (2 - i)(1 + i)$ bằng

A.
-3.
B.
1.
C.
3.
D.
-1.

Câu 4.

Nếu $\int_{-1}^2 f(x)dx = 2$ và $\int_2^6 f(x)dx = -5$ thì $\int_{-1}^6 f(x)dx$ bằng

A.
7.
B.
-3.
C.
-7.
D.
4.

Câu 5.

Cho khối chóp $S.ABC$ có chiều cao bằng $5$ , đáy $ABC$ có diện tích bằng $6$ . Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng

A.
30.
B.
10.
C.
15.
D.
11.

Câu 6.

Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là $V_1, V_2$ . Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$ bằng

A.
$\frac{2}{3}$ .
B.
$\frac{3}{2}$ .
C.
$3$ .
D.
$\frac{1}{3}$ .

Câu 7.

Với $a$ là số thực dương tuỳ ý, $\log(100a)$ bằng

A.
$2 - \log a.$
B.
$2 + \log a.$
C.
$1 - \log a.$
D.
$1 + \log a.$

Câu 8.

Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

x	$-\infty$	$-1$	$1$	$+\infty$
$y'$	$-$	0	$+$	0	$-$
y	$+\infty$		$-2$		2	$-\infty$

A.
$y = x^3 - 3x.$
B.
$y = x^2 - 2x.$
C.
$y = -x^3 + 3x.$
D.
$y = -x^2 + 2x.$

Câu 9.

Số nghiệm thực của phương trình $2^{x^2+1} = 4$ là

A.
1.
B.
2.
C.
0.
D.
3.

Câu 10.

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình của mặt phẳng $(Oxy)$ là

A.
$y = 0.$
B.
$x = 0.$
C.
$x + y = 0.$
D.
$z = 0.$

Câu 11.

Hàm số $F(x) = \cot x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ ?

A.
$f_2(x) = \frac{1}{\sin^2 x}.$
B.
$f_1(x) = -\frac{1}{\cos^2 x}.$
C.
$f_3(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}.$
D.
$f_4(x) = \frac{1}{\cos^2 x}.$

Câu 12.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$	$-1$	$0$	$1$	$+\infty$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$+\infty$		$0$		$3$		$0$	$+\infty$

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(-\infty; -1)$ .
B.
$(0; 3)$ .
C.
$(0; +\infty)$ .
D.
$(-1; 0)$ .

Câu 13.

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+1}{3}$ . Điểm nào dưới đây thuộc $d$ ?

A.
$P(2; 1; -1)$ .
B.
$M(1; 2; 3)$ .
C.
$Q(2; 1; 1)$ .
D.
$N(1; -2; 3)$ .

Câu 14.

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $z = 2 + 7i$ có tọa độ là

A.
$(2; -7)$ .
B.
$(-2; -7)$ .
C.
$(7; 2)$ .
D.
$(2; 7)$ .

Câu 15.

Cho điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $S(O; R)$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
$OM < R.$
B.
$OM = R.$
C.
$OM > R.$
D.
$OM \leq R.$

Câu 16.

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int e^x dx = e^x + C$ .

B. $\int e^x dx = x e^x + C$ .

C. $\int e^x dx = -e^{x+1} + C$ .

D. $\int e^x dx = e^{x+1} + C$ .

A.
$\int e^x dx = e^x + C$ .
B.
$\int e^x dx = x e^x + C$ .
C.
$\int e^x dx = -e^{x+1} + C$ .
D.
$\int e^x dx = e^{x+1} + C$ .

Câu 17.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai véc-tơ $\vec{u} = (1; -4; 0)$ và $\vec{v} = (-1; -2; 1)$ . Véc-tơ $\vec{u} + 3\vec{v}$ có tọa độ là

A.
$(-2; -10; 3)$ .
B.
$(-2; -6; 3)$ .
C.
$(-4; -8; 4)$ .
D.
$(-2; -10; -3)$ .

Câu 18.

Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 3$ và công bội $q = 2$ . Số hạng tổng quát $u_n (n \geq 2)$ bằng

A.
$3.2^n$ .
B.
$3.2^{n+2}$ .
C.
$3.2^{n+1}$ .
D.
$3.2^{n-1}$ .

Câu 19.

Cho $a = 3^{\sqrt{5}}$ , $b = 3^2$ và $c = 3^{\sqrt{6}}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$a < b < c.$
B.
$a < c < b.$
C.
$c < a < b.$
D.
$b < a < c.$

Câu 20.

Cho khối nón có diện tích đáy $3a^2$ và chiều cao $2a$ . Thể tích của khối nón đã cho là

A.
$3a^3$ .
B.
$6a^3$ .
C.
$2a^3$ .
D.
$\frac{2}{3}a^3$ .

Câu 21.

Nếu $\int_0^3 f(x)\,dx = 6$ thì $\int_0^3 \left[\frac{1}{3}f(x) + 2\right] dx$ bằng

A.
6.
B.
5.
C.
9.
D.
8.

Câu 22.

Tập xác định của hàm số $y = \log_2(x-1)$ là

A.
$(2; +\infty)$ .
B.
$(-\infty; +\infty)$ .
C.
$(-\infty; 1)$ .
D.
$(1; +\infty)$ .

Câu 23.

Cho hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A.
3.
B.
4.
C.
$-1$ .
D.
1.

Câu 24.

Nghiệm của phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(2x-1)=0$ là

A.
$x=1.$
B.
$x=\frac{3}{4}.$
C.
$x=\frac{2}{3}.$
D.
$x=\frac{1}{2}.$

Câu 25.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	$-2$	$+\infty$
$f'(x)$		$-$		$-$
$f(x)$	$-1$		$-1$
$\downarrow$	$+\infty$	$\downarrow$
$-\infty$

Tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là đường thẳng có phương trình:

A.
$y = -1.$
B.
$y = -2.$
C.
$x = -2.$
D.
$x = -1.$

Câu 26.

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S): (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 4$ . Tâm của $(S)$ có tọa độ là

A.
$(-2; 1; -3)$ .
B.
$(-4; 2; -6)$ .
C.
$(4; -2; 6)$ .
D.
$(2; -1; 3)$ .

Câu 27.

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau?

A.
3125.
B.
1.
C.
120.
D.
5.

Câu 28.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$0$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$+\infty$		$-1$		$3$		$-\infty$

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng $y = 1$ là

A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
0.

Câu 29.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ (tham khảo hình vẽ bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng $AC'$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng

A.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .
B.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
C.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
D.
$\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Câu 30.

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn $[30;50]$ . Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng

A.
$\frac{11}{21}$ .
B.
$\frac{13}{21}$ .
C.
$\frac{10}{21}$ .
D.
$\frac{8}{21}$ .

Câu 31.

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý và $a \ne 1$ , $\log_a \frac{1}{b^3}$ bằng

A.
$\log_a b$ .
B.
$-3\log_a b$ .
C.
$\frac{1}{3}\log_a b$ .
D.
$3\log_a b$ .

Câu 32.

Cho hàm số $f(x) = 1 + e^{2x}$ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
$\int f(x)\,dx = x + \frac{1}{2}e^x + C.$
B.
$\int f(x)\,dx = x + 2e^{2x} + C.$
C.
$\int f(x)\,dx = x + e^{2x} + C.$
D.
$\int f(x)\,dx = x + \frac{1}{2}e^{2x} + C.$

Câu 33.

Gọi $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 - 2z + 5 = 0$ . Khi đó $z_1^2 + z_2^2$ bằng

A.
6.
B.
-8i.
C.
8i.
D.
-6.

Câu 34.

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x + 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(-\infty; -1)$ .
B.
$(-\infty; 1)$ .
C.
$(-1; +\infty)$ .
D.
$(1; +\infty)$ .

Câu 35.

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;3)$ . Phương trình của mặt cầu tâm $A$ và tiếp xúc với mặt phẳng $x-2y+2z+3=0$ là

A.
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=2.$
B.
$(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=2.$
C.
$(x+1)^2+(y+2)^2+(z+3)^2=4.$
D.
$(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=4.$

Câu 36.

Cho hàm số $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $[-2;5]$ của tham số $m$ để phương trình $f(x) = m$ có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?

A.
7.
B.
6.
C.
5.
D.
1.

Câu 37.

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M(2; -2; 1)$ và mặt phẳng $(P): 2x - 3y - z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

A.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$
B.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 2 - 3t \\ z = 1 - t \end{cases}$
C.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -2 - 3t \\ z = 1 - t \end{cases}$
D.
$\begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = -3 - 2t \\ z = -1 + t \end{cases}$

Câu 38.

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh bằng 3 (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(ACC'A')$ bằng

A.
3.
B.
$3\sqrt{2}$ .
C.
$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ .
D.
$\dfrac{3}{2}$ .

Câu 39.

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng hai số nguyên $b$ thỏa mãn $(3^b - 3)(a.2^b - 16) < 0$ ?

A.
34.
B.
32.
C.
31.
D.
33.

Câu 40.

Cho hàm số $f(x) = (a+3)x^4 - 2ax^2 + 1$ với $a$ là tham số thực. Nếu $\max\limits_{[0;3]} f(x) = f(2)$ thì $\min\limits_{[0;3]} f(x)$ bằng

A.
-9.
B.
4.
C.
1.
D.
-8.

Câu 41.

Biết $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int_0^2 f(x)dx = F(2) - G(0) + a$ ( $a > 0$ ). Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = F(x), y = G(x), x = 0$ và $x = 2$ . Khi $S = 6$ thì $a$ bằng

A.
4.
B.
6.
C.
3.
D.
8.

Câu 42.

Cho các số phức $z_1, z_2, z_3$ thỏa mãn $2|z_1| = 2|z_2| = |z_3| = 2$ và $(z_1 + z_2)z_3 = 2z_1z_2$ . Gọi $A, B, C$ lần lượt là các điểm biểu diễn của $z_1, z_2, z_3$ trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác $ABC$ bằng

A.
$\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ .
B.
$\dfrac{3}{8}$ .
C.
$\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ .
D.
$\dfrac{3}{4}$ .

Câu 43.

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$ , cạnh bên $AA' = 2a$ , góc giữa hai mặt phẳng $(A'BC)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
$\frac{8}{9}a^3$ .
B.
$8a^3$ .
C.
$\frac{8}{3}a^3$ .
D.
$24a^3$ .

Câu 44.

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng $120^\circ$ và chiều cao bằng $2$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của $(S)$ bằng

A.
$\frac{16\pi}{3}$ .
B.
$\frac{64\pi}{3}$ .
C.
$64\pi$ .
D.
$48\pi$ .

Câu 45.

Xét tất cả các số thực $x, y$ sao cho $8^{9-y^2} \geq a^{6x - \log_2 a^3}$ với mọi số thực dương $a$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^2 + y^2 - 6x - 8y$ bằng

A.
-21.
B.
-6.
C.
-25.
D.
39.

Câu 46.

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ . Biết rằng hàm số $g(x) = \ln f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$+\infty$
$g(x)$	$+\infty$ ↓	$\ln 12$	↑ $\ln \frac{196}{16}$ ↓	$\ln 12$ ↑	$+\infty$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f'(x)$ và $y = g'(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A.
(7; 8).
B.
(6; 7).
C.
(8; 9).
D.
(10; 11).

Câu 47.

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(2;1;1)$ . Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(P)$ lớn nhất. Phương trình của $(P)$ là

A.
$x+z=0$ .
B.
$x-z=0$ .
C.
$2x+z=0$ .
D.
$2x-z=0$ .

Câu 48.

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $|z^2| = 2|z - \overline{z}|$ và $|(z + 4)(\overline{z} + 4i)| = |z - 4i|^2$ ?

A.
4.
B.
2.
C.
1.
D.
3.

Câu 49.

Có bao nhiêu số nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y = \left| x^4 - mx^2 - 64x \right|$ có đúng 3 điểm cực trị?

A.
23.
B.
12.
C.
24.
D.
11.

Câu 50.

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ tâm $I(1;4;2)$ , bán kính bằng $2$ . Gọi $M, N$ là hai điểm lần lượt thuộc hai trục $Ox, Oy$ sao cho đường thẳng $MN$ tiếp xúc với $(S)$ , đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OIMN$ có bán kính bằng $\dfrac{7}{2}$ . Gọi $A$ là tiếp điểm của $MN$ và $(S)$ , giá trị $AM.AN$ bằng

A.
$9\sqrt{2}$ .
B.
$14$ .
C.
$6\sqrt{2}$ .
D.
$8$ .