Toán — THPT Quốc gia 2024 (mã đề 103)

Câu 1.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	$-1$	$2$	$+\infty$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$+\infty$		$-2$		$1$	$-\infty$

Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

A.
$x = -2.$
B.
$x = 1.$
C.
$x = 2.$
D.
$x = -1.$

Câu 2.

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x+2) > -1$ là

A.
$(-2;1)$ .
B.
$(-\infty;0)$ .
C.
$(-2;0)$ .
D.
$(0;+\infty)$ .

Câu 3.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{4x-1}{3x+2}$ có phương trình là

A.
$x = \frac{4}{3}$ .
B.
$y = \frac{4}{3}$ .
C.
$x = -\frac{2}{3}$ .
D.
$y = -\frac{2}{3}$ .

Câu 4.

Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người thành một hàng ngang?

A.
36.
B.
720.
C.
1.
D.
6.

Câu 5.

Cho khối chóp tứ giác có thể tích $V = 3a^3$ và diện tích đáy $B = a^2$ . Chiều cao của khối chóp đã cho bằng

A.
$3a$ .
B.
$6a$ .
C.
$9a$ .
D.
$a$ .

Câu 6.

Nếu $\int\limits_{-2}^1 f(x)\,dx = -1$ và $\int\limits_1^5 f(x)\,dx = -5$ thì $\int\limits_{-2}^5 f(x)\,dx$ bằng

A.
-6.
B.
5.
C.
-4.
D.
4.

Câu 7.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 3; -1)$ và $\vec{b} = (-3; 2; -4)$ . Vectơ $\vec{a} + \vec{b}$ có tọa độ là

A.
(1; -5; 5).
B.
(-5; -1; -3).
C.
(-1; -5; 5).
D.
(-1; 5; -5).

Câu 8.

Số phức $z = i + i^2 + i^3$ bằng

A.
1.
B.
$i$ .
C.
$-1 + 2i$ .
D.
$-1$ .

Câu 9.

Hàm số nào dưới đây là hàm số mũ?

A.
$y = \log_3 x$
B.
$y = x^{-4}$
C.
$y = x^{2024}$
D.
$y = 2024^x$

Câu 10.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; -2; 3)$ và $B(3; 0; 1)$ . Gọi $(S)$ là mặt cầu nhận $AB$ làm đường kính, tâm của $(S)$ có tọa độ là

A.
$(1; 1; -1)$ .
B.
$(-1; -1; 1)$ .
C.
$(2; -1; 2)$ .
D.
$(4; -2; 4)$ .

Câu 11.

Cho hình nón có bán kính đáy $r = 3$ và độ dài đường sinh $l = 5$ . Chiều cao của hình nón đã cho bằng

A.
4.
B.
2.
C.
5.
D.
$\sqrt{34}$ .

Câu 12.

Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.
$\int (2x+3)\,dx = 2x^2 + 3x + C.$
B.
$\int (2x+3)\,dx = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C.$
C.
$\int (2x+3)\,dx = x^2 + C.$
D.
$\int (2x+3)\,dx = x^2 + 3x + C.$

Câu 13.

Trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ , hàm số $F(x) = \frac{1}{2} \sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.
$f_3(x) = -\frac{1}{2} \cos 2x.$
B.
$f_4(x) = -\frac{1}{4} \cos 2x.$
C.
$f_1(x) = -\cos 2x.$
D.
$f_2(x) = \cos 2x.$

Câu 14.

Nghiệm của phương trình $2^{2x} = 2^{x+6}$ là

A.
$x = 2.$
B.
$x = -2.$
C.
$x = 6.$
D.
$x = -6.$

Câu 15.

Trên mặt phẳng tọa độ, $M(2; -5)$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ . Phần thực của $z$ bằng

A.
2.
B.
5.
C.
-5.
D.
-2.

Câu 16.

Trên khoảng $(0; +\infty)$ , đạo hàm của hàm số $y = x^{\frac{1}{7}}$ là

A.
$y' = \frac{7}{8}x^{\frac{8}{7}}$ .
B.
$y' = \frac{1}{7}x^{\frac{6}{7}}$ .
C.
$y' = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}}$ .
D.
$y' = x^{-\frac{6}{7}}$ .

Câu 17.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1) = 3;\ f(2) = 1$ . Giá trị của $\int\limits_1^2 f'(x)\,dx$ bằng

A.
4.
B.
$-2$ .
C.
2.
D.
$-4$ .

Câu 18.

Cho hình trụ có diện tích xung quanh $S_{xq} = 36\pi$ và chiều cao $h = 6$ . Bán kính của hình trụ đã cho bằng

A.
9.
B.
3.
C.
6.
D.
12.

Câu 19.

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z}{-3}$ . Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$ ?

A.
$\vec{u}_4 = (1;1;3)$ .
B.
$\vec{u}_2 = (-1;2;0)$ .
C.
$\vec{u}_3 = (1;-1;-3)$ .
D.
$\vec{u}_1 = (1;2;0)$ .

Câu 20.

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 2x + 4$ , $\forall x \in \mathbb{R}$ . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(-2; +\infty)$ .
B.
$(2; +\infty)$ .
C.
$(-\infty; -2)$ .
D.
$(2; 4)$ .

Câu 21.

Với $a, b$ là các số thực dương tùy ý và $a \neq 1$ , $\log_a b^2$ bằng

A.
$\log_a b$
B.
$\log_a b^4$
C.
$(\log_a b)^2$
D.
$\log_a^4 b$

Câu 22.

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A.
$y = \frac{x-2}{2x+1}$ .
B.
$y = x^3 + 3x^2 - 1$ .
C.
$y = x^4 - 2x^2 - 4$ .
D.
$y = -x^3 + 3x^2 + 3$ .

Câu 23.

Cho khối lăng trụ tam giác có diện tích đáy $B = 6$ và chiều cao $h = 3$ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
6.
B.
24.
C.
18.
D.
12.

Câu 24.

Dãy số nào dưới đây là một cấp số cộng?

A.
1, 2, 3, -4.
B.
1, 3, 5, 10.
C.
1, 0, 2, 4.
D.
1, 3, 5, 7.

Câu 25.

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng đi qua điểm $M(3;4;-2)$ và vuông góc với trục $Oz$ có phương trình là

A.
$x-3=0$
B.
$y-4=0$
C.
$x+y+z-5=0$
D.
$z+2=0$

Câu 26.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau

$x$	$-\infty$	$-2$	$0$	$2$	$+\infty$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$

$\quad\quad\searrow\quad\quad\nearrow\quad\quad\searrow\quad\quad\nearrow$

$\quad\quad -3 \quad\quad\quad 0 \quad\quad\quad -3$

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A.
2.
B.
4.
C.
3.
D.
1.

Câu 27.

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình $f(x) = \frac{3}{2}$ là

A.
0.
B.
2.
C.
4.
D.
3.

Câu 28.

Cho số phức $z$ có $\overline{z} = -5 + 6i$ . Phần ảo của $z$ bằng

A.
5.
B.
-6.
C.
6.
D.
-5.

Câu 29.

Với $a, b$ là hai số thực lớn hơn 1, $\log_a b$ bằng

A.
$1 - \log_b a.$
B.
$1 + \log_b a.$
C.
$\frac{1}{\log_b a}.$
D.
$\frac{1}{1 + \log_b a}.$

Câu 30.

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P): 2x - z + 1 = 0$ . Đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là

A.
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + t \end{cases}$
B.
$\begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = -2 \\ z = 1 - t \end{cases}$
C.
$\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2t \\ z = -1 - t \end{cases}$
D.
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 \\ z = -1 - t \end{cases}$

Câu 31.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{2}a$ . Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$ bằng

A.
$\frac{\sqrt{10}}{5}a$
B.
$\frac{2\sqrt{10}}{5}a$
C.
$\frac{\sqrt{10}}{10}a$
D.
$\frac{\sqrt{6}}{3}a$

Câu 32.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1;2;3)$ và $B(3;2;5)$ . Gọi $M$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MA}$ , độ dài của vectơ $\overrightarrow{OM}$ bằng

A.
$2\sqrt{2}$ .
B.
$\frac{\sqrt{74}}{2}$ .
C.
$2\sqrt{14}$ .
D.
$8$ .

Câu 33.

Cho số phức $z = 3 + 4i$ . Môđun của số phức $iz$ bằng

A.
25.
B.
49.
C.
7.
D.
5.

Câu 34.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$ , $BC = 2a$ , cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA = \sqrt{3}a$ . Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng

A.
45 $^\circ$
B.
60 $^\circ$
C.
90 $^\circ$
D.
30 $^\circ$

Câu 35.

Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = -6x^3 + 27x^2 - 16x + 1$ trên đoạn $[1;5]$ bằng

A.
6.
B.
$-\frac{14}{9}$ .
C.
$-154$ .
D.
$\frac{329}{9}$ .

Câu 36.

Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 20 m/s thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v(t) = -4t + 20$ (m/s) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô đi được từ lúc người lái đạp phanh đến khi xe dừng hẳn bằng

A.
50 m.
B.
30 m.
C.
32 m.
D.
48 m.

Câu 37.

Trên hai tia $Ox, Oy$ của góc nhọn $xOy$ lần lượt cho 5 điểm và 6 điểm phân biệt khác $O$ . Chọn ngẫu nhiên 3 điểm từ 12 điểm (gồm điểm $O$ và 11 điểm đã cho), xác suất để 3 điểm chọn được là ba đỉnh của một tam giác bằng

A.
$\dfrac{27}{44}$ .
B.
$\dfrac{3}{4}$ .
C.
$\dfrac{39}{44}$ .
D.
$\dfrac{19}{22}$ .

Câu 38.

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ . Hàm số $y = f'(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.
$(-1;2)$ .
B.
$(-1;1)$ .
C.
$(-\infty;-1)$ .
D.
$(1;2)$ .

Câu 39.

Cho hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có ba điểm cực trị là $-\frac{7}{2}; -1; \frac{3}{2}$ và đạt giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$ . Bất phương trình $f(x) \geq m$ có nghiệm thuộc đoạn $[-3; 0]$ khi và chỉ khi

A.
$m \leq f(-1)$ .
B.
$f(-1) \leq m \leq f(0)$ .
C.
$m \leq f(0)$ .
D.
$m \leq f(-3)$ .

Câu 40.

Cho hàm số $y = f(x)$ có $f(0) = \frac{1}{2}$ và $f'(x) = \tan^3 x + \tan x$ , $\forall x \in \left( -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)$ . Biết $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (x+1)f(x)\,dx = a\pi\sqrt{3} + b\sqrt{3} + c\ln 3$ , với $a, b, c$ là các số hữu tỉ, giá trị của $a+b+c$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A.
$\left(0; \frac{1}{3}\right)$ .
B.
$\left(\frac{2}{3}; 1\right)$ .
C.
$\left(-\frac{1}{3}; 0\right)$ .
D.
$\left(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}\right)$ .

Câu 41.

Có bao nhiêu số nguyên $a$ lớn hơn 1 sao cho ứng với mỗi $a$ tồn tại không quá 7 số nguyên $b$ thỏa mãn $2^{b^2} < 8^{-b} \cdot a^{b+3}$ ?

A.
15.
B.
31.
C.
16.
D.
32.

Câu 42.

Trong không gian, cho hình thoi $ABCD$ có $AB = 6$ và $BD = 4$ . Khi quay hình thoi $ABCD$ quanh trục $AB$ thì đường gấp khúc $ADCB$ tạo thành hình tròn xoay $(H)$ . Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi $(H)$ bằng

A.
$\dfrac{256\pi}{3}$ .
B.
$\dfrac{8704\pi}{81}$ .
C.
$\dfrac{2368\pi}{27}$ .
D.
$\dfrac{64\pi}{3}$ .

Câu 43.

Xét phương trình bậc hai $az^2 + bz + c = 0$ ( $a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0$ ) có hai nghiệm phức $z_1, z_2$ có phần ảo khác 0 và $\left| 2z_1 - \frac{1}{7} \right| = |z_1 - z_2|$ . Giả sử $|z_1| = \frac{1}{\sqrt{k}}$ và $w$ là số phức thỏa mãn $cw^2 + bw + a = 0$ , có bao nhiêu số nguyên dương $k$ sao cho ứng với mỗi $k$ tồn tại đúng 5 số phức $z_3$ có phần ảo nguyên, $z_3 - w$ là số thuần ảo và $|z_3| \leq |w|$ ?

A.
10.
B.
5.
C.
6.
D.
11.

Câu 44.

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $\Delta : \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-3}{5} = \dfrac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng $(P): 2x+y+z=0$ . Đường thẳng đối xứng với $\Delta$ qua $(P)$ có phương trình là

A.
$\dfrac{x+3}{3} = \dfrac{y-1}{1} = \dfrac{z+1}{-1}$ .
B.
$\dfrac{x+4}{1} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z+2}{1}$ .
C.
$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z-2}{-1}$ .
D.
$\dfrac{x-3}{1} = \dfrac{y+1}{-1} = \dfrac{z-1}{1}$ .

Câu 45.

Cho khối lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$ , $AB = a\sqrt{3}$ và $AC = a$ . Biết góc giữa đường thẳng $B'C'$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$ , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A.
$\frac{\sqrt{3}}{3}a^3$ .
B.
$\frac{2\sqrt{3}}{3}a^3$ .
C.
$\frac{\sqrt{3}}{9}a^3$ .
D.
$\sqrt{3}a^3$ .

Câu 46.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ tồn tại đúng hai số phức $z$ thỏa mãn $|z+1-7i| + |z+1+7i| = 14$ và $|z-1-i| = m$ ?

A.
4.
B.
5.
C.
2.
D.
3.

Câu 47.

Xét hàm số $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ( $a, b, c, d \in \mathbb{R}, a > 0$ ) có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ (với $x_1 < x_2$ ) thỏa mãn $x_1 + x_2 = 0$ . Hình phẳng giới hạn bởi đường $y = f'(x) \cdot f''(x)$ và trục hoành có diện tích bằng $\dfrac{9}{16}$ . Biết $\int\limits_{x_1}^{x_2} \dfrac{f'(x)}{2x^2+1} dx = -\dfrac{5}{2}$ , giá trị của $\int\limits_{0}^{x_2} (x+2)f''(x)dx$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A.
$\left(\dfrac{7}{2}; \dfrac{9}{2}\right)$ .
B.
$\left(-\dfrac{3}{2}; -\dfrac{1}{2}\right)$ .
C.
$\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right)$ .
D.
$\left(-\dfrac{9}{2}; -\dfrac{7}{2}\right)$ .

Câu 48.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai điểm $A(1; -2; -1)$ , $B(2; -4; -1)$ và mặt cầu $(S)$ tâm $I(1; 2; -1)$ đi qua $A$ . Điểm $M(a; b; c)$ (với $c > 0$ ) thuộc $(S)$ sao cho $IAM$ là tam giác tù, có diện tích bằng $2\sqrt{7}$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $IA$ lớn nhất. Giá trị của $a + b + c$ thuộc khoảng nào dưới đây?

A.
$\left(\frac{17}{2}; 9\right)$
B.
$\left(2; \frac{5}{2}\right)$
C.
$\left(\frac{5}{2}; 3\right)$
D.
$\left(8; \frac{17}{2}\right)$

Câu 49.

Xét hàm số bậc bốn $y = f(x)$ có $f(-1) = -6$ . Hàm số $y = f'(x)$ đồng biến trên khoảng $(- fty; + fty)$ , $f'(4) = 0$ và $f'(-1) = a$ . Có bao nhiêu số nguyên $a \in (-100; 0)$ sao cho ứng với mỗi số $a$ , hàm số $y = \left| f(x) + \frac{6}{x^2} \right|$ có đúng 3 điểm cực trị thuộc khoảng $(-1; +\infty)$ ?

A.
11.
B.
12.
C.
87.
D.
88.

Câu 50.

Cho hàm số $f(x) = \frac{5}{x^3} + \ln \frac{x+2}{x-2}$ có bao nhiêu số nguyên $a \in (-\infty; 2100)$ thỏa mãn $f(a-2023) + f(5a-29) \geq 0$ ?

A.
336.
B.
410.
C.
2093.
D.
1758.