Toán — Vĩnh Phúc, đề khảo sát tốt nghiệp THPT 2025 (đề 2)

Câu 1.

Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ:

A.
$x = -1$ .
B.
$y = 4$ .
C.
$(-1; 4)$ .
D.
$x = 1$ .

Câu 2.

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ:

$x$	$-$	$-1$	$2$	$+$
$y'$		$-$	$+$	$0$	$-$
$y$	$5$		$-2$		$4$	$-1$

Khẳng định nào sau đây sai?

A.
Hàm số không có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ .
B.
Hàm số có hai điểm cực trị.
C.
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang.
D.
Hàm số giá trị lớn nhất bằng $5$ và giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ .

Câu 3.

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng:

A.
$y = x$ .
B.
$y = x - 1$ .
C.
$y = 2x - 1$ .
D.
$y = x + 1$ .

Câu 4.

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x + 3$ là

A.
$x^2 + 3x + C$ .
B.
$2x^2 + 3x + C$ .
C.
$x^2 + C$ .
D.
$2x^2 + C$ .

Câu 5.

Giả sử $\int\limits_0^9 f(x)dx = 37$ và $\int\limits_0^9 g(x)dx = 16$ . Khi đó $I = \int\limits_0^9 \left[2f(x) + 3g(x)\right]dx$ bằng

A.
122.
B.
121.
C.
123.
D.
124.

Câu 6.

Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

Khối lượng (gam)	$[80;82)$	$[82;84)$	$[84;86)$	$[86;88)$	$[88;90)$
Số quả	17	20	25	16	12

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

A.
10.
B.
12.
C.
2.
D.
20.

Câu 7.

Một siêu thị thống kê số tiền (đơn vị: chục nghìn đồng) mà 44 khách hàng mua hàng ở siêu thị đó trong một ngày. Số liệu được cho ở Bảng.

Nhóm	Giá trị đại diện	Tần số
[40;45)	42,5	4
[45;50)	47,5	14
[50;55)	52,5	8
[55;60)	57,5	10
[60;65)	62,5	6
[65;70)	67,5	2
$n=44$

Biết số trung bình của mẫu số liệu đã cho là $\overline{x} \approx 53,18$ . Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần mười) là

A.
$s^2 = 46{,}12$ .
B.
$s^2 = 46{,}1$ .
C.
$s^2 = 46{,}21$ .
D.
$s^2 = 46{,}2$ .

Câu 8.

Trong không gian $Oxyz$ , cho hai vectơ $\vec{u} = (1;3;-2)$ và $\vec{v} = (2;1;-1)$ . Tọa độ vectơ $\vec{u} - \vec{v}$ là:

A.
$(3;4;-3)$ .
B.
$(-1;2;-3)$ .
C.
$(-1;2;-1)$ .
D.
$(1;-2;1)$ .

Câu 9.

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(2;-1;3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2;3;-1)$ là:

A.
$2x + 3y - z - 2 = 0$ .
B.
$2x + 3y - z + 2 = 0$ .
C.
$2x - y + 3z - 2 = 0$ .
D.
$2x - y + 3z + 2 = 0$ .

Câu 10.

Trong không gian $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+1}{3}$ . Vecto nào dưới đây là một vecto chỉ phương của $d$ ?

A.
$\vec{u}_2 (2;4;-1)$ .
B.
$\vec{u}_1 (2;-5;3)$ .
C.
$\vec{u}_3 (2;5;3)$ .
D.
$\vec{u}_4 (3;4;1)$ .

Câu 11.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $A(2;1;0)$ , đi qua điểm $B(0;1;2)$ ?

A.
$(x+2)^2+(y+1)^2+z^2=8$ .
B.
$(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=8$ .
C.
$(x-2)^2+(y-1)^2+z^2=64$ .
D.
$(x+2)^2+(y+1)^2+z^2=64$ .

Câu 12.

Cho hàm số $y = f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ có bảng biến thiên sau

$x$	$-\infty$	$-1$	$1$	$3$	$+\infty$
$y'$		$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$		$-5$		$-\infty$	$+\infty$		$3$	$+\infty$

A)
Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Giá trị cực đại của hàm số là $y = 3$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có phương trình $y = mx + n$ khi đó $m > 0$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm.
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 13.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$ , $O = AC \cap BD$ biết $SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ .

A)
$(SMN) \perp (ABCD)$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
$V_{S.ABC} = \frac{\sqrt{3}a^3}{12}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
$d\left(A, (SBC)\right) = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
$\cos \alpha = \frac{1}{4}$ với $\alpha$ là số đo góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SCD)$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 14.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho ba điểm $A(2;-2;2), B(-1;1;-1)$ và $C(-3;1;0)$ .

A)
Mặt cầu tâm $A$ bán kính $R=3$ có phương trình là: $(x-2)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=3$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$ có phương trình là $2x-z+2=0$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ có phương trình tham số là $\begin{cases} x=2+t \\ y=-2-t \\ z=2+t \end{cases}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Biết rằng tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\frac{MA}{MB} = 2$ là mặt cầu $(S)$ . Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua điểm $C$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Khi đó, mặt phẳng $(Q)$ đi qua điểm $D(-1;-1;0)$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 15. Một doanh nghiệp tư nhân

A

chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe

X

với chi phí mua vào một chiếc là

27

triệu đồng và bán ra với giá

31

triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là

600

chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu triệu đồng thì lợi nhuận thu được cao nhất?Đáp án:

Câu 16. Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dáng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12(dm). Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol (P):

y = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 5\sqrt{3}

(H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác đều (H4)Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng

S (dm^2)

. Tính

S

(kết quả làm tròn đến hàng phần chục).Đáp án:

Câu 17. Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hằng tháng cứ vào đầu tháng cô bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hằng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích luỹ này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiền vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180 (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị với giả thiết lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình cô Hoa thực hiện tích luỹ)?Đáp án:

Câu 18. Có hai đội thi đấu môn bắn súng. Đội I có 5 vận động viên, đội II có 7 vận động viên. Xác suất đạt huy chương vàng của mỗi vận động viên đội I và đội II lần lượt là 0,65 và 0,55. Chọn ngẫu nhiên một vận động viên. Giả sử vận động viên được chọn đạt huy chương vàng. Xác suất để vận động viên này thuộc đội I là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?Đáp án:

Câu 19. Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật

ABCD

, mặt phẳng

(ABCD)

song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc

E

của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp

EA, EB, EC, ED

có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng

(ABCD)

một góc bằng

45^\circ

. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết trọng lượng chiếc xe ô tô là

4000N

và trọng lượng khung sắt là

2000N

; cường độ các lực căng

\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}, \vec{F_4}

là bằng nhau. Cường độ lực căng

\vec{F_1}

là

mN

, tính

m

(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).Đáp án:

Câu 20. Trong không gian với hệ trục

Oxyz

, cho mặt cầu

(S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y + 6z - 13 = 0

và đường thẳng

d: \frac{x+1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1}

. Điểm

M(a; b; c), (a > 0)

nằm trên đường thẳng

d

sao cho từ

M

kẻ được ba tiếp tuyến

MA, MB, MC

đến mặt cầu

(S)

(

A, B, C

là các tiếp điểm) và

\widehat{AMB} = 60^0

,

\widehat{BMC} = 90^0

,

\widehat{CMA} = 120^0

.Tính

9(a^3 + b^3 + c^3)

.Đáp án: