Toán — Đề minh hoạ 2017 — lần 3

Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị $(C)$. Tìm số giao điểm của $(C)$ và trục hoành.

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log x$.

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $5^{x+1} - \frac{1}{5} > 0$.

Kí hiệu $a, b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $3 - 2\sqrt{2}i$. Tìm $a, b$.

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline{z} = (4 - 3i)(1 + i)$.

Cho hàm số $y = \frac{x-2}{x+1}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 = 20$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -2 + t \end{cases}$?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2}$.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận?

Tính giá trị của biểu thức $P = (7 + 4\sqrt{3})^{2017} (4\sqrt{3} - 7)^{2016}$.

Cho $a$ là số thực dương, $a \neq 1$ và $P = \log_{\sqrt[3]{a}} a^3$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$?

Cho hàm số $f(x) = x \ln x$. Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f'(x)$. Tìm đồ thị đó.

Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(3; -4; 0)$, $B(-1; 1; 3)$, $C(3; 1; 0)$. Tìm tọa độ điểm $D$ trên trục hoành sao cho $AD = BC$.

Kí hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 + z + 1 = 0$. Tính giá trị của $P = z_1^2 + z_2^2 + z_1 z_2$.

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x + \frac{4}{x^2}$ trên khoảng $(0; +\infty)$.

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, trục hoành và 2 đường thẳng $x = -1$, $x = 2$ (như hình vẽ bên). Đặt $a = \int_{-1}^0 f(x)\,dx$, $b = \int_0^2 f(x)\,dx$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$.

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

Tính tích phân $I = \int_1^2 2x\sqrt{x^2-1}dx$ bằng cách đặt $u = x^2 - 1$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức $2z$?

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3\pi a^2$ và bán kính đáy bằng $a$. Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón đã cho.

Cho $\int_0^1 \frac{1}{e^x+1}dx = a + b \ln \frac{1+e}{2}$, với $a, b$ là các số hữu tỉ. Tính $S = a^3 + b^3$.

Tính thể tích $V$ của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$. Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x - 2y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z-1}{2}$. Tính khoảng cách $d$ giữa $\Delta$ và $(P)$.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = (m-1)x^4 - 2(m-3)x^2 + 1$ không có cực đại.

Hàm số $y = (x-2)(x^2-1)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = |x-2|(x^2-1)$?

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1, a \neq \sqrt{b}$ và $\log_a b = \sqrt{3}$. Tính $P = \log_{\sqrt{b}/a} \sqrt{\frac{b}{a}}$.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($1 \leq x \leq 3$) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $3x$ và $\sqrt{3x^2 - 2}$.

Hỏi phương trình $3x^2 - 6x + \ln(x+1)^3 + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SD$ tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc bằng $30^\circ$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+5}{-1} = \dfrac{z-3}{4}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $x+3=0$?

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int_0^1 (x+1)f'(x)\,dx = 10$ và $2f(1) - f(0) = 2$. Tính $\int_0^1 f(x)\,dx$.

Hỏi có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $|z - i| = 5$ và $z^2$ là số thuần ảo?

Cho hàm số $y = \frac{\ln x}{x}$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = (m^2 - 1)x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 6x - 2y + z - 35 = 0$ và điểm $A(-1; 3; 6)$. Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(P)$. Tính $OA'$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $3\sqrt{2}a$, cạnh bên bằng $5a$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x) + f(-x) = \sqrt{2 + 2\cos 2x}, \forall x \in \mathbb{R}$. Tính $I = \int\limits_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx$.

Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong $[-2017;2017]$ để phương trình $\log(mx) = 2\log(x+1)$ có nghiệm duy nhất?

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 1)x$ có hai điểm cực trị là $A$ và $B$ sao cho $A, B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d: y = 5x - 9$. Tính tổng tất cả các phần tử của $S$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$. Giả sử điểm $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho cùng phương với $\overrightarrow{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ là lớn nhất. Tính $MN$.

Xét số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-i| + |z-4-7i| = 6\sqrt{2}$. Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $|z-1+i|$. Tính $P = m + M$.

Cho mặt cầu tâm $O$, bán kính $R$. Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h$ ($h > R$). Tính $h$ để thể tích khối nón được tạo nên bởi $(N)$ có giá trị lớn nhất.

Cho khối tứ diện có thể tích bằng $V$. Gọi $V'$ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số $\frac{V'}{V}$.