Toán — Đề minh hoạ 2017

Câu 1.

Cho hàm số $y = x^3 - 3x$ có đồ thị $(C)$ . Tìm số giao điểm của $(C)$ và trục hoành.

A.
2.
B.
3.
C.
1.
D.
0.

Câu 2.

Tính đạo hàm của hàm số $y = \log x$ .

A.
$y' = \frac{1}{x}.$
B.
$y' = \frac{\ln 10}{x}.$
C.
$y' = \frac{1}{x \ln 10}.$
D.
$y' = \frac{1}{10 \ln x}.$

Câu 3.

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $5^{x+1} - \frac{1}{5} > 0$ .

A.
$S = (1; +\infty)$ .
B.
$S = (-1; +\infty)$ .
C.
$S = (-2; +\infty)$ .
D.
$S = (-\infty; -2)$ .

Câu 4.

Kí hiệu $a, b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $3 - 2\sqrt{2}i$ . Tìm $a, b$ .

A.
$a = 3; b = 2.$
B.
$a = 3; b = 2\sqrt{2}.$
C.
$a = 3; b = \sqrt{2}.$
D.
$a = 3; b = -2\sqrt{2}.$

Câu 5.

Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline{z} = (4 - 3i)(1 + i)$ .

A.
$|z| = 25\sqrt{2}$ .
B.
$|z| = 7\sqrt{2}$ .
C.
$|z| = 5\sqrt{2}$ .
D.
$|z| = \sqrt{2}$ .

Câu 6.

Cho hàm số $y = \frac{x-2}{x+1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ .
B.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ .
C.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ .
D.
Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1; +\infty)$ .

Câu 7.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$y_{CĐ} = 5.$
B.
$y_{CT} = 0.$
C.
$\min\limits_{\mathbb{R}} y = 4.$
D.
$\max\limits_{\mathbb{R}} y = 5.$

Câu 8.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-4)^2 = 20$ .

A.
$I(-1;2;-4),\ R=5\sqrt{2}.$
B.
$I(-1;2;-4),\ R=2\sqrt{5}.$
C.
$I(1;-2;4),\ R=20.$
D.
$I(1;-2;4),\ R=2\sqrt{5}.$

Câu 9.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3t \\ z = -2 + t \end{cases}$ ?

A.
$\dfrac{x+1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z-2}{1}.$
B.
$\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+2}{-2}.$
C.
$\dfrac{x+1}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z-2}{-2}.$
D.
$\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+2}{1}.$

Câu 10.

Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2}$ .

A.
$\int f(x)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{2}{x} + C.$
B.
$\int f(x)dx = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} + C.$
C.
$\int f(x)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{2}{x} + C.$
D.
$\int f(x)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{1}{x} + C.$

Câu 11.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu tiệm cận?

A.
1.
B.
3.
C.
2.
D.
4.

Câu 12.

Tính giá trị của biểu thức $P = (7 + 4\sqrt{3})^{2017} (4\sqrt{3} - 7)^{2016}$ .

A.
$P = 1.$
B.
$P = 7 - 4\sqrt{3}.$
C.
$P = 7 + 4\sqrt{3}.$
D.
$(7 + 4\sqrt{3})^{2016}.$

Câu 13.

Cho $a$ là số thực dương, $a \neq 1$ và $P = \log_{\sqrt[3]{a}} a^3$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
P = 1.
B.
P = -1.
C.
P = 9.
D.
$P = \frac{1}{3}$ .

Câu 14.

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ ?

A.
$y = 3x^3 + 3x - 2.$
B.
$y = 2x^3 - 5x + 1.$
C.
$y = x^4 + 3x^2.$
D.
$y = \frac{x-2}{x+1}.$

Câu 15.

Cho hàm số $f(x) = x \ln x$ . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số $y = f'(x)$ . Tìm đồ thị đó.

A.
[Hình vẽ đồ thị: Parabol đi qua điểm (1,1), trục hoành tại x=0, x=1, trục tung tại y=1]
B.
[Hình vẽ đồ thị: Nhánh cong đi qua điểm (1,0), nằm phía trên trục hoành khi x>1, phía dưới khi 0<x<1]
C.
[Hình vẽ đồ thị: Nhánh cong đi qua điểm (1,0), nằm phía dưới trục hoành khi x>1, phía trên khi 0<x<1]
D.
[Hình vẽ đồ thị: Nhánh hypebol đi qua điểm (1,1), tiệm cận trục tung và trục hoành, nằm phía trên trục hoành khi 0<x<1, phía dưới khi x>1]

Câu 16.

Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$ .

A.
$V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{6}.$
B.
$V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{12}.$
C.
$V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{2}.$
D.
$V = \dfrac{a^3 \sqrt{3}}{4}.$

Câu 17.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho các điểm $A(3; -4; 0)$ , $B(-1; 1; 3)$ , $C(3; 1; 0)$ . Tìm tọa độ điểm $D$ trên trục hoành sao cho $AD = BC$ .

A.
$D(-2; 0; 0)$ hoặc $D(-4; 0; 0)$ .
B.
$D(0; 0; 0)$ hoặc $D(-6; 0; 0)$ .
C.
$D(6; 0; 0)$ hoặc $D(12; 0; 0)$ .
D.
$D(0; 0; 0)$ hoặc $D(6; 0; 0)$ .

Câu 18.

Kí hiệu $z_1, z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2 + z + 1 = 0$ . Tính giá trị của $P = z_1^2 + z_2^2 + z_1 z_2$ .

A.
$P = 1.$
B.
$P = 2.$
C.
$P = -1.$
D.
$P = 0.$

Câu 19.

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3x + \frac{4}{x^2}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ .

A.
$\min\limits_{(0;+\infty)} y = 3\sqrt[3]{9}$ .
B.
$\min\limits_{(0;+\infty)} y = 7$ .
C.
$\min\limits_{(0;+\infty)} y = \frac{33}{5}$ .
D.
$\min\limits_{(0;+\infty)} y = 2\sqrt[3]{9}$ .

Câu 20.

Hình đa diện trong hình vẽ bên có bao nhiêu mặt?

A.
6.
B.
10.
C.
12.
D.
11.

Câu 21.

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y = f(x)$ , trục hoành và 2 đường thẳng $x = -1$ , $x = 2$ (như hình vẽ bên). Đặt $a = \int_{-1}^0 f(x)\,dx$ , $b = \int_0^2 f(x)\,dx$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.
$S = b - a.$
B.
$S = b + a.$
C.
$S = -b + a.$
D.
$S = -b - a.$

Câu 22.

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $\log_2(x-1) + \log_2(x+1) = 3$ .

A.
$S = \{-3; 3\}$ .
B.
$S = \{4\}$ .
C.
$S = \{3\}$ .
D.
$S = \{-\sqrt{10}; \sqrt{10}\}$ .

Câu 23.

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số trong 4 hàm số được liệt kê ở 4 phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi đó là hàm số nào?

A.
$y = \frac{2x+3}{x+1}$ .
B.
$y = \frac{2x-1}{x+1}$ .
C.
$y = \frac{2x-2}{x-1}$ .
D.
$y = \frac{2x+1}{x-1}$ .

Câu 24.

Tính tích phân $I = \int_1^2 2x\sqrt{x^2-1}dx$ bằng cách đặt $u = x^2 - 1$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$I = 2\int_0^3 \sqrt{u}du.$
B.
$I = \int_1^2 \sqrt{u}du.$
C.
$I = \int_0^3 \sqrt{u}du.$
D.
$I = \frac{1}{2}\int_1^2 \sqrt{u}du.$

Câu 25.

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm $M$ là điểm biểu diễn của số phức $z$ (như hình vẽ bên). Điểm nào trong hình vẽ là điểm biểu diễn của số phức $2z$ ?

A.
Điểm $N$ .
B.
Điểm $Q$ .
C.
Điểm $E$ .
D.
Điểm $P$ .

Câu 26.

Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng $3\pi a^2$ và bán kính đáy bằng $a$ . Tính độ dài đường sinh $l$ của hình nón đã cho.

A.
$l = \frac{\sqrt{5}a}{2}$ .
B.
$l = 2\sqrt{2}a$ .
C.
$l = \frac{3a}{2}$ .
D.
$l = 3a$ .

Câu 27.

Cho $\int_0^1 \frac{1}{e^x+1}dx = a + b \ln \frac{1+e}{2}$ , với $a, b$ là các số hữu tỉ. Tính $S = a^3 + b^3$ .

A.
S = 2.
B.
S = -2.
C.
S = 0.
D.
S = 1.

Câu 28.

Tính thể tích $V$ của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có cạnh bằng $a$ .

A.
$V = \frac{\pi a^3}{4}.$
B.
$V = \pi a^3.$
C.
$V = \frac{\pi a^3}{6}.$
D.
$V = \frac{\pi a^3}{2}.$

Câu 29.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;-1)$ và đi qua điểm $A(2;1;2)$ . Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với $(S)$ tại $A$ ?

A.
$x + y - 3z - 8 = 0.$
B.
$x - y - 3z + 3 = 0.$
C.
$x + y + 3z - 9 = 0.$
D.
$x + y - 3z + 3 = 0.$

Câu 30.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 2x - 2y - z + 1 = 0$ và đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{1} = \dfrac{z-1}{2}$ . Tính khoảng cách $d$ giữa $\Delta$ và $(P)$ .

A.
$d = \dfrac{1}{3}$ .
B.
$d = \dfrac{5}{3}$ .
C.
$d = \dfrac{2}{3}$ .
D.
$d = 2$ .

Câu 31.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = (m-1)x^4 - 2(m-3)x^2 + 1$ không có cực đại.

A.
$1 \leq m \leq 3.$
B.
$m \leq 1.$
C.
$m \geq 1.$
D.
$1 < m \leq 3.$

Câu 32.

Hàm số $y = (x-2)(x^2-1)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hình nào dưới đây là đồ thị của hàm số $y = |x-2|(x^2-1)$ ?

A.
[Hình vẽ A]
B.
[Hình vẽ B]
C.
[Hình vẽ C]
D.
[Hình vẽ D]

Câu 33.

Cho $a, b$ là các số thực dương thỏa mãn $a \neq 1, a \neq \sqrt{b}$ và $\log_a b = \sqrt{3}$ . Tính $P = \log_{\sqrt{b}/a} \sqrt{\frac{b}{a}}$ .

A.
$P = -5 + 3\sqrt{3}$ .
B.
$P = -1 + \sqrt{3}$ .
C.
$P = -1 - \sqrt{3}$ .
D.
$P = -5 - 3\sqrt{3}$ .

Câu 34.

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$ , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ( $1 \leq x \leq 3$ ) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có hai cạnh là $3x$ và $\sqrt{3x^2 - 2}$ .

A.
$V = 32 + 2\sqrt{15}$ .
B.
$V = \dfrac{124\pi}{3}$ .
C.
$V = \dfrac{124}{3}$ .
D.
$V = \left(32 + 2\sqrt{15}\right)\pi$ .

Câu 35.

Hỏi phương trình $3x^2 - 6x + \ln(x+1)^3 + 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A.
2.
B.
1.
C.
3.
D.
4.

Câu 36.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$ , $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SD$ tạo với mặt phẳng $(SAB)$ một góc bằng $30^\circ$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABCD$ .

A.
$V = \frac{\sqrt{6}a^3}{18}.$
B.
$V = \sqrt{3}a^3.$
C.
$V = \frac{\sqrt{6}a^3}{3}.$
D.
$V = \frac{\sqrt{3}a^3}{3}.$

Câu 37.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+5}{-1} = \dfrac{z-3}{4}$ . Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $x+3=0$ ?

A.
$\begin{cases} x=-3 \\ y=-5-t \\ z=-3+4t \end{cases}$
B.
$\begin{cases} x=-3 \\ y=-5+t \\ z=3+4t \end{cases}$
C.
$\begin{cases} x=-3 \\ y=-5+2t \\ z=3-t \end{cases}$
D.
$\begin{cases} x=-3 \\ y=-6-t \\ z=7+4t \end{cases}$

Câu 38.

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $\int_0^1 (x+1)f'(x)\,dx = 10$ và $2f(1) - f(0) = 2$ . Tính $\int_0^1 f(x)\,dx$ .

A.
I = -12.
B.
I = 8.
C.
m = 1.
D.
I = -8.

Câu 39.

Hỏi có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $|z - i| = 5$ và $z^2$ là số thuần ảo?

A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
0.

Câu 40.

Cho hàm số $y = \frac{\ln x}{x}$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.
$2y' + xy'' = -\frac{1}{x^2}$ .
B.
$y' + xy'' = \frac{1}{x^2}$ .
C.
$y' + xy'' = -\frac{1}{x^2}$ .
D.
$2y' + xy'' = \frac{1}{x^2}$ .

Câu 41.

Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y = (m^2 - 1)x^3 + (m - 1)x^2 - x + 4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$ .

A.
2.
B.
1.
C.
0.
D.
3.

Câu 42.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): 6x - 2y + z - 35 = 0$ và điểm $A(-1; 3; 6)$ . Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $(P)$ . Tính $OA'$ .

A.
$OA' = 3\sqrt{26}$ .
B.
$OA' = 5\sqrt{3}$ .
C.
$OA' = \sqrt{46}$ .
D.
$OA' = \sqrt{186}$ .

Câu 43.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $3\sqrt{2}a$ , cạnh bên bằng $5a$ . Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ .

A.
$R = \sqrt{3}a.$
B.
$R = \sqrt{2}a.$
C.
$R = \dfrac{25a}{8}.$
D.
$R = 2a.$

Câu 44.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(x) + f(-x) = \sqrt{2 + 2\cos 2x}, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính $I = \int\limits_{-\frac{3\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} f(x)dx$ .

A.
$I = -6.$
B.
$I = 0.$
C.
$I = -2.$
D.
$I = 6.$

Câu 45.

Hỏi có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong $[-2017;2017]$ để phương trình $\log(mx) = 2\log(x+1)$ có nghiệm duy nhất?

A.
2017.
B.
4014.
C.
2018.
D.
4015.

Câu 46.

Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (m^2 - 1)x$ có hai điểm cực trị là $A$ và $B$ sao cho $A, B$ nằm khác phía và cách đều đường thẳng $d: y = 5x - 9$ . Tính tổng tất cả các phần tử của $S$ .

A.
0.
B.
6.
C.
-6.
D.
3.

Câu 47.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho mặt phẳng $(P): x - 2y + 2z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$ . Giả sử điểm $M \in (P)$ và $N \in (S)$ sao cho cùng phương với $\overrightarrow{u} = (1; 0; 1)$ và khoảng cách giữa $M$ và $N$ là lớn nhất. Tính $MN$ .

A.
$MN = 3.$
B.
$MN = 1 + 2\sqrt{2}.$
C.
$MN = 3\sqrt{2}.$
D.
$MN = 14.$

Câu 48.

Xét số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-i| + |z-4-7i| = 6\sqrt{2}$ . Gọi $m, M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $|z-1+i|$ . Tính $P = m + M$ .

A.
$P = \sqrt{13} + \sqrt{73}$ .
B.
$P = \dfrac{5\sqrt{2} + 2\sqrt{73}}{2}$ .
C.
$P = 5\sqrt{2} + 2\sqrt{73}$ .
D.
$P = \dfrac{5\sqrt{2} + \sqrt{73}}{2}$ .

Câu 49.

Cho mặt cầu tâm $O$ , bán kính $R$ . Xét mặt phẳng $(P)$ thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ . Hình nón $(N)$ có đỉnh $S$ nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn $(C)$ và có chiều cao là $h$ ( $h > R$ ). Tính $h$ để thể tích khối nón được tạo nên bởi $(N)$ có giá trị lớn nhất.

A.
$h = \sqrt{3}R.$
B.
$h = \sqrt{2}R.$
C.
$h = \frac{4R}{3}.$
D.
$h = \frac{3R}{2}.$

Câu 50.

Cho khối tứ diện có thể tích bằng $V$ . Gọi $V'$ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số $\frac{V'}{V}$ .

A.
$\frac{V'}{V} = \frac{1}{2}$ .
B.
$\frac{V'}{V} = \frac{1}{4}$ .
C.
$\frac{V'}{V} = \frac{2}{3}$ .
D.
$\frac{V'}{V} = \frac{5}{8}$ .

Toán — Đề minh hoạ 2017 — lần 3