Toán — THPT Đội Cấn, Vĩnh Phúc (khảo sát tốt nghiệp THPT 2025)

Câu 1.

Cho $A$ và $\overline{A}$ là hai biến cố đối nhau. Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

A.
$P(A) = 1 + P(\overline{A})$ .
B.
$P(A) = P(\overline{A})$ .
C.
$P(A) = 1 - P(\overline{A})$ .
D.
$P(A) + P(\overline{A}) = 0$ .

Câu 2.

Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2022 được ước tính bởi công thức $f(t) = \frac{26t + 10}{t + 5}$ ( $f(t)$ được tính bằng nghìn người). Hỏi trong khoảng thời gian từ năm 2022 đến năm 2032 dân số của thị trấn đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

A.
6 nghìn người.
B.
18 nghìn người.
C.
2 nghìn người.
D.
18,5 nghìn người.

Câu 3.

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		0		1		$+\infty$
$y'$		$-$	0	$+$	0	$+$
$y$	2	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$	$-2$	$\nearrow$	$+\infty$

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A.
4.
B.
1.
C.
3.
D.
2.

Câu 4.

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $\vec{a}(2;1)$ , $\vec{b}(3;-1)$ . Tọa độ vectơ $\vec{a} - \vec{b}$ là

A.
$\vec{a} - \vec{b} = (-1;2)$ .
B.
$\vec{a} - \vec{b} = (1;2)$ .
C.
$\vec{a} - \vec{b} = (1;-2)$ .
D.
$\vec{a} - \vec{b} = (-1;-2)$ .

Câu 5.

Mỗi ngày bà Minh đều đi bộ để rèn luyện sức khoẻ. Quãng đường đi bộ mỗi ngày (đơn vị: $km$ ) của bà Minh trong 20 ngày được thống kê lại ở bảng sau:

Quãng đường (km)	[2,7;3,0)	[3,0;3,3)	[3,3;3,6)	[3,6;3,9)	[3,9;4,2)
Số ngày	3	6	5	4	2

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là

A.
$1,5(km)$ .
B.
$0,9(km)$ .
C.
$0,6(km)$ .
D.
$0,3(km)$ .

Câu 6.

Khẳng định nào sau đây sai?

A.
Độ lệch chuẩn càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
B.
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của phương sai.
C.
Phương sai càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
D.
Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của độ lệch chuẩn.

Câu 7.

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x + 2x$ là

A.
$F(x) = e^x + x^2 + C$
B.
$F(x) = e^x + 2x + C$
C.
$F(x) = e^x + 2$
D.
$F(x) = e^x - x^2 + C$

Câu 8.

Giả sử $\int\limits_0^9 f(x)dx = 37$ và $\int\limits_0^9 g(x)dx = -16$ . Khi đó, $I = \int\limits_0^9 [2f(x) + 3g(x)]dx$ bằng

A.
$I = 26$ .
B.
$I = 58$ .
C.
$I = 143$ .
D.
$I = 122$ .

Câu 9.

Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2^x$ , $y = 1$ , $x = 0$ , $x = 2$ . Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A.
$S = \int\limits_0^2 (1 - 2^x)\,dx$ .
B.
$S = \int\limits_0^2 |1 - 2^x|\,dx$ .
C.
$S = \int\limits_0^2 |2^x - 1|\,dx$ .
D.
$S = \int\limits_0^2 (2^x - 1)\,dx$ .

Câu 10.

Trong không gian $Oxyz$ , cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;3;0)$ và bán kính bằng $2$ . Phương trình của $(S)$ là

A.
$(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=4.$
B.
$(x+2)^2+(y-3)^2+z^2=2.$
C.
$(x+2)^2+(y-3)^2+z^2=4.$
D.
$(x-2)^2+(y+3)^2+z^2=2.$

Câu 11.

Phương trình $2\cos x - 1 = 0$ có họ nghiệm là

A.
$\begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \end{cases} ; (k \in \mathbb{Z})$
B.
$\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} ; (k \in \mathbb{Z})$
C.
$\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \end{cases} ; (k \in \mathbb{Z})$
D.
$\begin{cases} x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \\ x = \frac{7\pi}{6} + k\pi \end{cases} ; (k \in \mathbb{Z})$

Câu 12.

Nghiệm của phương trình $3^{x-1} = 27$ là

A.
$x = 5$ .
B.
$x = 1$ .
C.
$x = 2$ .
D.
$x = 4$ .

Câu 13.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2$ , $AD = 3$ và đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}, \vec{b} = \overrightarrow{AD}, \vec{c} = \overrightarrow{AE}$ . Lấy hai điểm $M, N$ thỏa mãn $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow{EC}$ (tham khảo hình vẽ).

A)
$\overrightarrow{MA} = -\frac{1}{5} \overrightarrow{b}.$
☐ Đúng ☐ Sai
B)
$\overrightarrow{EN} = \frac{2}{5} (\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}).$
☐ Đúng ☐ Sai
C)
$(m \overrightarrow{a} + n \overrightarrow{b} + p \overrightarrow{c})^2 = m^2 \overrightarrow{a}^2 + n^2 \overrightarrow{b}^2 + p^2 \overrightarrow{c}^2$ với $m, n, p$ là các số thực.
☐ Đúng ☐ Sai
D)
$MN = \frac{\sqrt{61}}{5}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 14.

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A(1;2;-3)$ , $C(0;1;-6)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 2y - z + 9 = 0$ .

A)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình tham số là
$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 2t \\ z = -3 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AC} = (-1; -1; -3)$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
Mặt phẳng $(R)$ đi qua hai điểm $A, C$ và vuông góc với $(P)$ có phương trình là $(R): x - y + 1 = 0$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): 3x + 4y - 4z + 5 = 0$ cắt mặt phẳng $(P)$ tại $B$ . Điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho $M$ luôn nhìn $AB$ dưới một góc vuông. Khi đó, độ dài $MB$ lớn nhất bằng $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 15.

Một phân xưởng có $80\%$ công nhân là nữ. Tỉ lệ công nhân có tay nghề cao của nam là $40\%$ , tỉ lệ công nhân có tay nghề cao của nữ là $55\%$ . Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Gọi $A$ là biến cố "Công nhân được chọn là nữ" và $B$ là biến cố "Công nhân được chọn có tay nghề cao".

A)
$P(B|\overline{A}) = 0,4$ .
☐ Đúng ☐ Sai
B)
$P(B) = 0,43$ .
☐ Đúng ☐ Sai
C)
$P(\overline{A}|B)=\frac{2}{13}$ .
☐ Đúng ☐ Sai
D)
$P(A|B)=\frac{11}{13}$ .
☐ Đúng ☐ Sai

Câu 16. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí

A

cách bờ biển một khoảng

AB = 4 (km)

. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí

C

cách

B

một khoảng

BC = 7 (km)

. Người canh hải đăng phải chèo thuyền từ vị trí

A

đến vị trí

M

trên bờ biển với vận tốc

6 (km/h)

rồi đi xe đạp từ

M

đến

C

với vận tốc

10 (km/h)

(hình vẽ bên). Xác định khoảng cách từ

M

đến

C

để người đó đi từ

A

đến

C

là nhanh nhất.Đáp án:

Câu 17. Người ta trồng 15050 cây theo dạng một hình tam giác bậc thang như sau: Hàng thứ nhất trồng 2 cây, hàng thứ hai trồng 5 cây, hàng thứ ba trồng 8 cây, … , cứ tiếp tục trồng cho đến khi hết số cây và hàng cuối cùng có đủ số cây theo quy luật này. Tính số hàng cây được trồng.Đáp án:

Câu 18. Cho biết kim tự tháp Memphis tại bang Tennessee (Mỹ) có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao 98 m và cạnh đáy 180 m. Tính số đo góc nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp đó (theo đơn vị độ, làm tròn đến hàng phần chục).Đáp án:

Câu 19. Sáu bạn An, Bình, Cường, Dũng, Đức, Nam xếp thành một hàng ngang theo thứ tự ngẫu nhiên. Tính xác suất để An đứng cạnh Bình, biết rằng An không đứng cạnh Đức.Đáp án:

Câu 20. Hình elip được ứng dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt là kiến trúc xây dựng như đấu trường La Mã, tòa nhà Ellipse Tower Hà Nội, sử dụng trong thiết kế logo quảng cáo, thiết bị nội thất. Xét một Lavabo (bồn rửa) làm bằng sứ đặc hình dạng là một nửa khối elip tròn xoay có thông số kĩ thuật mặt trên của Lavabo là: dài × rộng:

660 \times 380

mm (tham khảo hình vẽ bên dưới), Lavabo có độ dày đều là 20 mm. Thể tích chứa nước của Lavabo bằng bao nhiêu

\text{dm}^3

(kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?Đáp án:

Câu 21. Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt

S(0; 0; 20)

và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là

A(20; 0; 0), B(0; 20; 0), C(-20; 0; 0), D(0; -20; 0)

(đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 40 N và được phân bố thành bốn lực

\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4

có độ lớn bằng nhau như hình vẽ. Độ lớn của lực

\vec{F} = \vec{F}_1 + 2\vec{F}_2 + 3\vec{F}_3 + 4\vec{F}_4

bằng bao nhiêu

N

(làm tròn đến hàng đơn vị)? (Mỗi 1 cm biểu diễn lực có độ lớn 1N)Đáp án: